Question

【题目】如图，在边长为5的正方形中，以B为圆心，BA为半径作弧AC，F为弧AC上一动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P，交DC于点Q．

（1）求证：PQ＝AP+CQ；

（2）分别延长PQ、BC，延长线相交于点M，如果AP＝2，求BM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用切线长定理得到PA＝PF，QF＝QC，从而得到PQ＝PF+QF＝AP+CQ；

（2）设CQ＝x，则PD＝3，PQ＝2+x，DQ＝5﹣x，利用勾股定理得到32+（5﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝，则DQ＝5﹣x＝，然后证明△CQM∽△DQP，利用相似比求出CM即可得到BM的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAD＝∠BCD＝90°，DA＝DC，

∵⊙B的切线交AD于点P，

∴PA＝PF，QF＝QC，

∴PQ＝PF+QF＝AP+CQ；

（2）解：设CQ＝x，

∵AP＝2，AD＝CD＝5，

∴PD＝3，PQ＝2+x，DQ＝5﹣x，

在Rt△PQD中，32+（5﹣x）2＝（2+x）2，解得x＝，

∴DQ＝5﹣x＝，

∵PD∥CM，

∴△CQM∽△DQP，

∴＝，即＝，解得CM＝，

∴BM＝BC+CM＝5+＝．