Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．

（1）求∠EDC的度数．

（2）求证：BF＝AE．

Answer 1

【答案】（1）∠EDC＝75°；（2）见解析．

【解析】

（1）由角平分线的性质可得∠ABD＝∠DBC＝45°，可求∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，由直角三角形的性质可得∠C＝∠FBC＝30°，即可求解；

（2）由直角三角形的性质可得BF＝AB，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝AE，可证BF＝AE．

（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠DBC＝45°，

∵∠FBC＝2∠FBD．

∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，

∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，

∴AF＝BF＝CF，

∴∠C＝∠FBC＝30°，

∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；

（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，

∴AC＝2AB，

∴AB＝AF＝BF，

∵AE∥BC，

∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，

∴AB＝AE，

∴AE＝BF．