Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=-x²+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积．
（3）连接BE，是否存在点D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=-4，
∴A（-4，0），B（0，4）．
∵点A（-4，0），B（0，4）在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴，
解得：b=-3，c=4，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-3x+4．

（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，AC=4+m．
∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，
∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，
∴点E坐标为（m，8+m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴8+m=-m²-3m+4，解得m=-2．
∴C（-2，0），AC=OC=2，CE=6，
S_{四边形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB-S_△BCO=×2×6+（6+4）×2-×2×4=12．

（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=-m，CD=AC=4+m，BD=OC=-m，则D（m，4+m）．
∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似
∴△DBE必为等腰直角三角形．
i）若∠BED=90°，则BE=DE，
∵BE=OC=-m，
∴DE=BE=-m，
∴CE=4+m-m=4，
∴E（m，4）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-3，
∴D（-3，1）；
ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=-m，
在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=-2m，
∴CE=4+m-2m=4-m，
∴E（m，4-m）．
∵点E在抛物线y=-x²-3x+4上，
∴4-m=-m²-3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=-2，
∴D（-2，2）．
综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（-3，1）或（-2，2）．
分析：（1）首先求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点E在抛物线上，则可以列出方程求出m的值．在计算四边形CAEB面积时，利用S_{四边形CAEB}=S_△ACE+S_梯形OCEB-S_△BCO，可以简化计算；
（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．
点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．