Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．AD和EF有什么关系？请说明理由．

Answer 1

解：AD垂直平分EF，理由如下：
∵AD是△ABC的角平分线，且DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90°
在Rt△AED和Rt△AFD中．
∴Rt△AED≌Rt△AFD
∴AE=AF，
∴A点在EF的垂直平分线上，
又∵DE=DF，
∴D点在EF的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分EF．
分析：AD垂直平分EF．此题根据已知条件容易证明Rt△AED≌△AFD，然后利用全等三角形的性质与线段的垂直平分线的判定方法可以证明AD垂直平分EF．
点评：此题把全等三角形的性质与判定和线段的垂直平分线结合起来，综合利用它们解题，可以少证明一次三角形全等，简化解题过程．