Question

4．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；
（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；
（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．

解答 解：（1）当0≤x＜100时，y=60；
当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则
$\left\{\begin{array}{l}{100k+b=60}\\{400k+b=40}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{15}}\\{b=\frac{200}{3}}\end{array}\right.$，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{60（0≤x＜100）}\\{-\frac{1}{15}x+\frac{200}{3}（x≥100）}\end{array}\right.$；
（2）∵250＞100，
∴当x=250件时，y=-$\frac{1}{15}$×250+$\frac{200}{3}$=50元，
∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；
（3）W=（-$\frac{1}{15}$x+$\frac{200}{3}$-20）×x=-$\frac{1}{15}$x²+$\frac{140}{3}$x=-$\frac{1}{15}$（x-350）²+$\frac{24500}{3}$，
∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是$\frac{24500}{3}$元．

点评 本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．