Question

12．阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）理解：
①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？是（填是或不是）
②若某三角形的三边长分别为1、$\sqrt{7}$、2，则该三角形是（是或不是）奇异三角形．
（2）探究：
若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2$\sqrt{2}$，则第三边的长为2$\sqrt{3}$，且这个直角三角形的三边之比为1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$（从小到大排列，不得含有分母）．
（3）设问：
请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答）

Answer 1

分析 （1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；
（2）分2$\sqrt{2}$是斜边和直角边两种情况讨论，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义；（3）结合（2）提出问题即可．

解答 解：（1）①设等边三角形的一边为a，则a²+a²=2a²，
∴符合“奇异三角形”的定义．
∴“等边三角形一定是奇异三角形”，正确；
故答案为：是；
②∵1²+（$\sqrt{7}$）²=8=2×2²，
∴若某三角形的三边长分别为1、$\sqrt{7}$、2，则该三角形是奇异三角形；
故答案为：是；
（2）分两种情况：
①当2$\sqrt{2}$为斜边时，第三边长=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2，
∵2²+（2$\sqrt{2}$）²≠2×2²，
∴不是奇异三角形；
②当2$\sqrt{2}$为直角边长时，第三边长=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵2²+（2$\sqrt{3}$）²=2×（2$\sqrt{2}$）²，
∴是奇异三角形；
直角三角形的三边之比为2：2$\sqrt{2}$：2$\sqrt{3}$=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；
故答案为：2$\sqrt{3}$，1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$；
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，a：b：c的比是多少．

点评 本题考查的是奇异三角形的定义、勾股定理的应用，在解答（2）时要注意分类讨论是解题关键．