Question

如图，在平面直角坐标系中，等腰△OBC的边OB在x轴上，OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，连接OD，AB=，∠CBO=45°，在直线BE上求点M，使△BMC与△ODC相似，则点M的坐标是　　．

Answer 1

（1，﹣1）或（﹣，）：  解：∵OB=CB，OB边上的高CA与OC边上的高BE相交于点D，AB=，∠CBO=45°，

∴AB=AC=，OD=CD，

在Rt△BAC中，BC==2，

∴OB=2，

∴OA=OB﹣AB=2﹣，

在Rt△OAC中，OC==2，

在Rt△OAD中，OA²+AD²=OD²，

（2﹣）²+AD²=（﹣AD）²，

解得AD=2﹣，

∴OD=CD=2﹣2，

在Rt△BAD中，BD==2，

①如图1，△BMC∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

=，即=，

解得BM=，

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，

∴MF∥DA，

∴△BMF∽△BDA，

∴==，即==，

解得BF=1，MF=﹣1，

∴OF=OB﹣BF=1，

∴点M的坐标是（1，﹣1）；

②如图2，△BCM∽△CDO时，过M点作MF⊥AB于F，

=，即=，

解得BM=2，

∵MF⊥AB，CA是OB边上的高，

∴MF∥DA，

∴△BMF∽△BDA，

∴==，即==，

解得BF=2+，MF=，

∴OF=BF﹣OB=，

∴点M的坐标是（﹣，）．

综上所述，点M的坐标是（1，﹣1）或（﹣，）．