Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB．过B作x轴的垂线、过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D．
（1）求b，c的值．
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．
（3）是否存在t，使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．
（4）如图2，连结AC，在点P运动过程中，若以PB为直径的圆与直线AC相切，直接写出此时t的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），
∴，
解得．
故所求b，c的值分别为，4；

（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°-∠APO，
∴△AOP∽△PEB且相似比为==2，
∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2，
又∵DE=OA=4，
∴点D的坐标为（t+2，4），
∴点D落在抛物线上时，有-（t+2）²+（t+2）+4=4，
解得t=3或t=-2，
∵t＞0，
∴t=3．
故当t为3时，点D落在抛物线上；

（3）存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下：
①当0＜t＜8时，如图1．
若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（4-t），
整理，得t²+16=0，
∴t无解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t=-2±2（负值舍去）；
②当t＞8时，如图3．
若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD，
即t：（t+2）=4：（t-4），
解得t=8±4（负值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t无解；
综上可知，当t=-2+2或8+4时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似；

（4）如图2．∵A（0，4），C（8，0），
∴AC的解析式为y=-x+4．
设BP的中点为N，由P（t，0），B（t+2，），可得N（t+1，），AP=．
过点N作FN∥AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H，
设直线FN的解析式为y=-x+m，将N（t+1，）代入，
可得-（t+1）+m=，即m=+．
由△AFH∽△ACO，可得=，
∵AF=4-m，
∴=，
∴FH=2×，
当以PB为直径的圆与直线AC相切时，FH=BP=AP，
∴2×=，
将m=+代入，整理得：31t²-336t+704=0，
解得：t=8，t=．
故以PB为直径的圆与直线AC相切时，t的值为8或．
分析：（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=-x²+bx+c，运用待定系数法即可求出b，c的值；
（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明△AOP∽△PEB，再根据相似三角形对应边的比相等得到==2，则PE=2，进而求出点D的坐标，然后将D（t+2，4）代入（1）中求出的抛物线的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8时，点B与点D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8两种情况进行讨论，在每一种情况下，当以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似时，又分两种情况：△POA∽△ADB与△POA∽△BDA，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可；
（4）设BP的中点为N，由P（t，0），B（t+2，），根据中点坐标公式得出N（t+1，），由勾股定理求出AP=．过点N作FN∥AC交y轴于点F，过点F作FH⊥AC于点H．运用待定系数法求出AC的解析式为y=-x+4，根据解析式平移的规律设FN的解析式为y=-x+m，将N（t+1，）代入，得出m=+．由△AFH∽△ACO，根据相似三角形对应边的比相等得出FH=2×，又当以PB为直径的圆与直线AC相切时，FH=BP=AP，列出方程2×=，解方程即可求出t的值．
点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，综合性较强，难度较大．由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解决（2）小题的关键；进行分类讨论是解决（3）小题的关键；根据切线及旋转的性质得出FH=BP=AP解决（4）小题的关键．