Question

17．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥BD于H，如图，根据垂径定理得到BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，在Rt△OBH中可利用勾股定理计算出OH=2，易得四边形OHEC为矩形，则CE=OH=2，HE=OC=$\frac{5}{2}$，BE=1，然后证明△FBE∽△FOC，利用相似比可计算出CF．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABD=∠BOC，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：作OH⊥BD于H，如图，
则BH=DH=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，
在Rt△OBH中，∵OB=$\frac{5}{2}$，BH=$\frac{3}{2}$，
∴OH=$\sqrt{O{B}^{2}-B{H}^{2}}$=2，
易得四边形OHEC为矩形，
∴CE=OH=2，HE=OC=$\frac{5}{2}$，
∴BE=NE-BH=1，
∵BE∥OC，
∴△FBE∽△FOC，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{BE}{OC}$，即$\frac{CF-2}{CF}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}}$，
∴CF=$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．