Question

【题目】已知四边形中，、分别是、边上的点，与交于点.

（1）如图1，若四边形是矩形，且，求证：；

（2）如图2，若四边形是平行四边形，试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图3，若，，，，请直接写出的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当时，成立.（3）

【解析】

（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可；

（2）当∠B+∠EGC=180°时，成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案；

（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，代入得出方程，求出，证出△AED∽△NFC，即可得出答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠FDC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
∵∠A=∠CDF，
∴△AED∽△DFC，

∴

（2）当∠B+∠EGC=180°时，成立.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A=180°，
∵∠B+∠EGC=180°，
∴∠A=∠EGC=∠FGD，
∵∠FDG=∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，

∴

∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，
∴∠CGD=∠CDF，
∵∠GCD=∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，

即当∠B+∠EGC=180°时，成立.

（3）解：

理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，

∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，
∴∠A=∠M=∠CNA=90°，
∴四边形AMCN是矩形，
∴AM=CN，AN=CM，
∵在△BAD和△BCD中

∴△BAD≌△BCD（SSS），
∴∠BCD=∠A=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC+∠CBM=180°，
∴∠MBC=∠ADC，
∵∠CND=∠M=90°，
∴△BCM∽△DCN，

在Rt△CMB中，，BM=AM-AB=x-6，

由勾股定理得：BM2+CM2=BC2，

x=0（舍去），

∵∠A=∠FGD=90°，
∴∠AED+∠AFG=180°，
∵∠AFG+∠NFC=180°，
∴∠AED=∠CFN，
∵∠A=∠CNF=90°，
∴△AED∽△NFC，