Question

如图，已知△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3

3

，以AC为底边在△ABC外作等腰三角形ACD，且∠ADC=120°，连接BD，则BD的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）作AE⊥BC于E，求出AE、BE、CE的长度，进而求出AC的长度；
（2）过点D作DG⊥AC于G，由AD=CD，得出AG、CG进，得出AD、DG
（3）作DF⊥AC于F，∠GDH=∠ACE，证明△DGH∽△AEC，求出GH、HC的长度．利用勾股定理求得FC，再得DF．
（4）最后由勾股定理求出BD的长度．

解答：解：作AE⊥BC于E，
∵∠ABC=30°，AB=2，
∴AE=1，BE=

3

．
∴EC=2

3

，AC=

13

．
过点D作DG⊥AC于G，
∵AD=CD，DG⊥AC，
∴AG=CG=

13

2

．
∵∠ADC=120°，
∴∠DAC=30°
∴AD=

AG

cos∠DAC

=

13 2

3 2

=

39

3

，DG=

39

6

，DC=

39

3

．
作DF⊥AC于F，交AC于点H，
∵∠DGC=∠AEC=90°，∠DHG=∠CHF，
∴∠GDH=∠ACE，
又∵∠DGC=∠AEC=90°，
∴△DGH∽△AEC，
∴

DG

EC

=

GH

AE

，GH=

13

12

，HC=CG-GH=

5

12

13

．
∵tan∠GDH=

GH

DG

=

3

6

又∵∠GDH=∠ACE，
∴

HF

FC

=

3

6

，设HF=

3

x，FC=6x，
在Rt△CHF中，(

3

x)2+(6x)2=(

5

12

3

)2，
     x=

5

36

3

，
FC=

5

6

3

，
在Rt△CDF中，DF=

DC2-FC2

=

3

2

，
BF=BC-FC=3

3

-

5

6

3

=

13

6

3

，
在Rt△BDF中，BD=

BF2+DF2

=

( 13 3 6 )2+( 3 2 )2

=

7

3

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理与解直角三角形的综合应用．难度较大，关键是正确地作出辅助线．