【题目】如图,BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA,BD交AC于F,连接AD.
(1)求证:∠BDC=∠BAC;
(2)若AB=AC,请判断△ABD的形状,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,若AF=BF,求∠EBA的大小.
【答案】(1)见解析;(2)△ABD为等腰三角形;见解析;(3)∠ABC=72°.
【解析】
试题分析:(1)根据角平分线的定义得到∠BDC+∠ABC=
∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE,于是得到∠BDC+
∠ABC=
∠BAC+
∠ABC,等量代换即可得到结论;
(2)作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H根据角平分线的性质得到DM=DH,DN=DH,等量代换得到DM=DN,根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB,等量代换得到∠GAD=∠ABC,推出AD∥BC,由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC,证得∠ABD=∠ADB,即可得到结论;
(3)根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠ABF=∠ABC,根据三角形的内角和即可得到结论.
解:(1)∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA,BD交AC于F,
∴∠BDC+∠ABC=
∠ACE,∠BAC+∠ABC=∠ACE,
∴∠BDC+∠ABC=
∠BAC+
∠ABC,
∴∠BDC=∠BAC.
(2)△ABD为等腰三角形,证明如下:
作DM⊥BG于M,DN⊥AC于N,DH⊥BE于H
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA,
∴DM=DH,DN=DH,
∴DM=DN,
∴AD平分∠CAG,即∠GAD=∠CAD,
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠GAD=∠ABC,
∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
又∵∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD,
∴△ABD为等腰三角形;
(3)∵AF=BF,
∴∠BAF=∠ABF=∠ABC,
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC=180°,
∴∠ABC=72°.
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【题目】在ABCD中,对角线AC、BD交于点O,过点O作直线EF分别交线段AD、BC于点E、F.
(1)根据题意,画出图形,并标上正确的字母;
(2)求证:DE=BF.
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【题目】某商场促销,小鱼将促销信息告诉了妈妈,假设某一商品的定价为,并列出不等式为
,那么小鱼告诉妈妈的信息是( )
A. 买两件等值的商品可减100元,再打三折,最后不到1000元
B. 买两件等值的商品可打三折,再减100元,最后不到1000元
C. 买两件等值的商品可减100元,再打七折,最后不到1000元
D. 买两件等值的商品可打七折,再减100元,最后不到1000元
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【题目】若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:
①以a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形
②以,
,
的长为边的三条线段能组成一个三角形
③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形
④以,
,
的长为边的三条线段能组成直角三角形
其中所有正确结论的序号为______.
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【题目】如图,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,点F是AB的中点,AD与FE、BE分别交于点G、H,∠CBE=∠BAD.有下列结论:①FD=FE;②AH=2CD;③BCAD= AE2;④S△ABC=4S△ADF . 其中正确的有( )
A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4个
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【题目】阅读下面的对话:
MM:“请帮我称些梨.”
售货员:“您上次买的梨卖没了,您试一试新进的苹果,价格虽然比梨贵些,但苹果营养价
值更高.”
MM:“好,我跟上次一样,也买30元钱.”
对比两次的电脑小票,MM发现:每千克苹果的价格是梨的1.5倍,苹果的重量比梨轻2.5
千克.
根据上面的对话和MM发现,分别求出苹果和梨的单价.
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【题目】如图1,点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点,点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s。
⑴连接AQ、CP交于点M,在点P、Q运动的过程中,∠CMQ的大小变化吗?若变化,则说明理由,若不变,请直接写出它的度数;
⑵点P、Q在运动过程中,设运动时间为t,当t为何值时,△PBQ为直角三角形?
⑶如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动,直线AQ、CP交点为M,则∠CMQ的大小变化吗?则说明理由;若不变,请求出它的度数。
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【题目】如图1,在直角坐标系xoy中,直线l:y=kx+b交x轴,y轴于点E,F,点B的坐标是(2,2),过点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A、C,点D是线段CO上的动点,以BD为对称轴,作与△BCD或轴对称的△BC′D.
(1)当∠CBD=15°时,求点C′的坐标.
(2)当图1中的直线l经过点A,且k=﹣ 时(如图2),求点D由C到O的运动过程中,线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积.
(3)当图1中的直线l经过点D,C′时(如图3),以DE为对称轴,作于△DOE或轴对称的△DO′E,连结O′C,O′O,问是否存在点D,使得△DO′E与△CO′O相似?若存在,求出k、b的值;若不存在,请说明理由.
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