【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A,直线y=x﹣2与抛物线交于B,C两点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)作CD⊥x轴于点D,求证:△ODC∽△ABC;
(3)若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出这样的P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,
∴A(1,1),
联立直线与抛物线解析式可得 ,解得 或 ,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);
(2)
解:证明:
∵A(1,1),B(2,0),C(﹣1,﹣3),
∴AB= = ,BC= =3 ,AC= =2 ,
∴AB2+BC2=2+18=20=AC2,
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形,
∴∠ABC=∠ODC,
∵C(﹣1,﹣3),
∴OD=1,CD=3,
∴ = = ,
∴△ODC∽△ABC;
(3)
解:设M(x,0),则P(x,﹣x2+2x),
∴OM=|x|,PM=|﹣x2+2x|,
∵∠OMP=∠ABC=90°,
∴当以△OPM与△ABC相似时,有 = 或 = 两种情况,
①当 = 时,则 = ,解得x= 或x= ,此时P点坐标为( , )或( ,﹣ );
②当 = 时,则 = ,解得x=5或x=﹣1(与C点重合,舍去),此时P点坐标为(5,﹣15);
综上可知存在满足条件的点P,其坐标为( , )或( ,﹣ )或(5,﹣15).
【解析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标,联立直线与抛物线解析式,解方程组,可求得B、C的坐标;(2)由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长,可判定△ABC为直角三角形,且可得 = ,可证得结论;(3)设M(x,0),则P(x,﹣x2+2x),从而可表示出OM和PM的长,分 = 和 = 两种情况,分别得到关于x的方程,可求得x的值,可求得P点坐标.
【考点精析】本题主要考查了两点间的距离和勾股定理的逆定理的相关知识点,需要掌握同轴两点求距离,大减小数就为之.与轴等距两个点,间距求法亦如此.平面任意两个点,横纵标差先求值.差方相加开平方,距离公式要牢记;如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形才能正确解答此题.
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【题目】市一中准备组织学生及学生家长到武汉大学参观体验,为了便于管理,所有人员到武汉必须乘坐在同一列动车上;根据报名人数,若都买 一等座单程火车票需2556元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需1530元;已知学生家长与教师的人数之比为2:1,安陆到武汉的动车票价格(动 车学生票只有二等座可以打6折)如下表所示:
(1)参加参观体验的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加参观体验的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票的总费用至少是多少钱?最多是多少钱?
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A(0,6),与x轴交于点B(6,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标;
(2)当点P移动到抛物线的什么位置时,使得∠PAB=75°,求出此时点P的坐标;
(3)当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动,在移动中,点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动,与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动,点P,M移动到各自终点时停止,当两个移点移动t秒时,求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式,并求t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB= ,E是 的中点,求EGED的值.
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【题目】在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数,记录如下:
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表
组别 | 步数分组 | 频数 |
A | 5500≤x<6500 | 2 |
B | 6500≤x<7500 | 10 |
C | 7500≤x<8500 | m |
D | 8500≤x<9500 | 3 |
E | 9500≤x<10500 | n |
请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:m= , n=;
(2)补全频数发布直方图;
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在组;
(4)若该团队共有120人,请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.
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【题目】二次函数y=x2+bx的图象如图,对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣1<x<4的范围内有解,则t的取值范围是( )
A.t≥﹣1
B.﹣1≤t<3
C.﹣1≤t<8
D.3<t<8
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,ABCD的顶点A的坐标为(﹣2,0),点D的坐标为(0,2 ),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G.
(1)求∠DCB的度数;
(2)当点F的坐标为(﹣4,0)时,求点G的坐标;
(3)连接OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF',记直线EF'与射线DC的交点为H.
如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE.
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【题目】云南鲁甸发生地震后,某社区开展献爱心活动,社区党员积极向灾区捐款,如图是该社区部分党员捐款情况的条形统计图,那么本次捐款钱数的众数和中位数分别是( )
A.100元,100元
B.100元,200元
C.200元,100元
D.200元,200元
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