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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+2x的顶点为A,直线y=x﹣2与抛物线交于B,C两点.


(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)作CD⊥x轴于点D,求证:△ODC∽△ABC;

(3)若点P为抛物线上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,则是否还存在除C点外的其他位置的点,使以O,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出这样的P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,

∴A(1,1),

联立直线与抛物线解析式可得 ,解得

∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);


(2)

解:证明:

∵A(1,1),B(2,0),C(﹣1,﹣3),

∴AB= = ,BC= =3 ,AC= =2

∴AB2+BC2=2+18=20=AC2

∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形,

∴∠ABC=∠ODC,

∵C(﹣1,﹣3),

∴OD=1,CD=3,

= =

∴△ODC∽△ABC;


(3)

解:设M(x,0),则P(x,﹣x2+2x),

∴OM=|x|,PM=|﹣x2+2x|,

∵∠OMP=∠ABC=90°,

∴当以△OPM与△ABC相似时,有 = = 两种情况,

①当 = 时,则 = ,解得x= 或x= ,此时P点坐标为( )或( ,﹣ );

②当 = 时,则 = ,解得x=5或x=﹣1(与C点重合,舍去),此时P点坐标为(5,﹣15);

综上可知存在满足条件的点P,其坐标为( )或( ,﹣ )或(5,﹣15).


【解析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标,联立直线与抛物线解析式,解方程组,可求得B、C的坐标;(2)由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长,可判定△ABC为直角三角形,且可得 = ,可证得结论;(3)设M(x,0),则P(x,﹣x2+2x),从而可表示出OM和PM的长,分 = = 两种情况,分别得到关于x的方程,可求得x的值,可求得P点坐标.
【考点精析】本题主要考查了两点间的距离和勾股定理的逆定理的相关知识点,需要掌握同轴两点求距离,大减小数就为之.与轴等距两个点,间距求法亦如此.平面任意两个点,横纵标差先求值.差方相加开平方,距离公式要牢记;如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形才能正确解答此题.

练习册系列答案
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【题目】市一中准备组织学生及学生家长到武汉大学参观体验,为了便于管理,所有人员到武汉必须乘坐在同一列动车上;根据报名人数,若都买 一等座单程火车票需2556元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需1530元;已知学生家长与教师的人数之比为2:1,安陆到武汉的动车票价格(动 车学生票只有二等座可以打6折)如下表所示:

(1)参加参观体验的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加参观体验的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.
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(1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标;
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB= ,E是 的中点,求EGED的值.

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【题目】在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数,记录如下:
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:

步数分组统计表

组别

步数分组

频数

A

5500≤x<6500

2

B

6500≤x<7500

10

C

7500≤x<8500

m

D

8500≤x<9500

3

E

9500≤x<10500

n

请根据以上信息解答下列问题:
(1)填空:m= , n=
(2)补全频数发布直方图;
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在组;
(4)若该团队共有120人,请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.

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(1)计算:(x+3)(x﹣3)﹣x(x﹣2)
(2)解不等式组:

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A.t≥﹣1
B.﹣1≤t<3
C.﹣1≤t<8
D.3<t<8

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(1)求∠DCB的度数;
(2)当点F的坐标为(﹣4,0)时,求点G的坐标;
(3)连接OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF',记直线EF'与射线DC的交点为H.
如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE.

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A.100元,100元
B.100元,200元
C.200元,100元
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