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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,ABCD的顶点A的坐标为(﹣2,0),点D的坐标为(0,2 ),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G.

(1)求∠DCB的度数;
(2)当点F的坐标为(﹣4,0)时,求点G的坐标;
(3)连接OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF',记直线EF'与射线DC的交点为H.
如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE.

【答案】
(1)

解:在Rt△AOD中,

∵tan∠DAO= = =

∴∠DAB=60°,

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠DCB=∠DAB=60°.


(2)

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴CD∥AB,

∴∠DGE=∠AFE,

又∵∠DEG=∠AEF,DE=AE,

∴△DEG≌△AEF,

∴DG=AF

∵AF=OF﹣OA=4﹣2=2,

∴DG=2,

∴点G的坐标为(2,2 ),


(3)

∵CD∥AB,

∴∠DGE=∠OFE,

∵△OEF经轴对称变换后得到△OEF′,

∴∠OFE=∠OF′E,

∴∠DGE=∠OF′E,

在Rt△AOD中,∵E是AD的中点,

∴OE= AD=AE

又∵∠EAO=60°

∴∠EOA=60°,∠AEO=60°,

又∵∠EOF'=∠EOA=60°,

∴∠EOF′=∠OEA,

∴AD∥OF′,

∴∠OF′E=∠DEH,

∴∠DEH=∠DGE,

又∵∠HDE=∠EDG,

∴△DHE∽△DEG.


【解析】(1)由于平行四边形的对角相等,只需求得∠DAO的度数即可,在Rt△OAD中,根据A、D的坐标,可得到OA、OD的长,那么∠DAO的度数就不难求了.(2)根据点E、F的坐标求得直线EF的方程,然后将点G的纵坐标代入该直线方程即可求得点G的横坐标.(3)根据A、D的坐标,易求得E点坐标,即可得到AE、OE的长,由此可判定△AOE是等边三角形,那么∠OEA=∠AOE=∠EOF′=60°,由此可推出OF′∥AE,即∠DEH=∠OF′E,根据轴对称的性质知∠OF′E=∠EFA,通过等量代换可得∠EFA=∠DGE=∠DEH,由此可证得所求的三角形相似.
【考点精析】通过灵活运用平行四边形的性质和作轴对称图形,掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分;画对称轴图形的方法:①标出关键点②数方格,标出对称点③依次连线即可以解答此题.

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(3)根据以上信息2008年全国总水量为___亿m3
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