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【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.

(1)若ED⊥EF,求证:ED=EF;
(2)在(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?并证明你的结论(请先补全图形,再解答);
(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗?若垂直给出证明.

【答案】
(1)

证明:在ABCD中,

∵AD=AC,AD⊥AC,

∴AC=BC,AC⊥BC,

连接CE,

∵E是AB的中点,

∴AE=EC,CE⊥AB,

∴∠ACE=∠BCE=45°,

∴∠ECF=∠EAD=135°,

∵ED⊥EF,

∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED,

在△CEF和△AED中,

∴△CEF≌△AED,

∴ED=EF;


(2)

解:由(1)知△CEF≌△AED,CF=AD,

∵AD=AC,

∴AC=CF,

∵DP∥AB,

∴FP=PB,

∴CP= AB=AE,

∴四边形ACPE为平行四边形;


(3)

解:垂直,

理由:过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,

在△AME与△CNE中,

∴△AME≌△CNE,

∴∠ADE=∠CFE,

在△ADE与△CFE中,

∴△ADE≌△CFE,

∴∠DEA=∠FEC,

∵∠DEA+∠DEC=90°,

∴∠CEF+∠DEC=90°,

∴∠DEF=90°,

∴ED⊥EF.


【解析】(1)根据平行四边形的想知道的AD=AC,AD⊥AC,连接CE,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到CF=AD,等量代换得到AC=CF,于是得到CP= AB=AE,根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形;(3)过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,证得△AME≌△CNE,△ADE≌△CFE,根据全等三角形的性质即可得到结论.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分.

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