Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得∠PAB=75°，求出此时点P的坐标；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线的表达式为y=﹣ x2+2x+6，

∵y=﹣ x2+2x+6=﹣ （x﹣2）2+8，

∴抛物线的顶点坐标为（2，8）

（2）

解：如图1，过P作PC⊥y轴于点C，

∵OA=OB=6，

∴∠OAB=45°，

∴当∠PAB=75°时，∠PAC=60°，

∴tan∠PAC= ，即 = ，

设AC=m，则PC= m，

∴P（ m，6+m），

把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=﹣ （ m）2+2 m+6，解得m=0或m= ﹣ ，

经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，

∴所求的P点坐标为（4﹣ ， + ）

（3）

解：当两个支点移动t秒时，则P（t，﹣ t2+2t+6），M（0，6﹣t），

如图2，作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6﹣t，

∴F（t，6﹣t），

∴FP= t2+2t+6﹣（6﹣t）=﹣ t2+3t，

∵点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，

∴S△PAB= FPOE+ FPBE= FP（OE+BE）= FPOB= ×（﹣ t2+3t）×6=﹣ t2+9t，且S△AMB= AMOB= ×t×6=3t，

∴S=S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB=﹣ t2+12t=﹣ （t﹣4）2+24，

∴当t=4时，S有最大值，最大值为24

【解析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；（2）过P作PC⊥y轴于点C，由条件可求得∠PAC=60°，可设AC=m，在Rt△PAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PE⊥x轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出△PAB的面积，利用S四边形PAMB=S△PAB+S△AMB ， 可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．