Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1

（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1，

∴﹣ =1，解得b=2，

∵抛物线过A（0，3），

∴c=3，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴B点坐标为（3，0）；

（2）

①由题意可知ON=3t，OM=2t，

∵P在抛物线上，

∴P（2t，﹣4t2+4t+3），

∵四边形OMPN为矩形，

∴ON=PM，

∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣ （舍去），

∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），

∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，

∴当t＞0时，OQ≠OB，

∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，

由题意可知OM=2t，

∴Q（2t，﹣2t+3），

∴OQ= = ，BQ= = |2t﹣3|，

又由题意可知0＜t＜1，

当OB=QB时，则有 |2t﹣3|=3，解得t= （舍去）或t= ；

当OQ=BQ时，则有 = |2t﹣3|，解得t= ；

综上可知当t的值为 或 时，△BOQ为等腰三角形．

【解析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．