Question

3．若以三角形的一边为边向外作正三角形，以这边所对两个顶点为端点的线段称为这个三角形的奇异线，如图1，以△ABC的边BC为边，向外作正△BCD，则AD是△ABC的一条奇异线．
（1）如图2，CD、AE都是△ABC的奇异线，求证：CD=AE；
（2）如图1，△ABC中，∠BAC=30°，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC的奇异线AD的长．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△DBC≌△ABE进而得出答案；
（2）首先得出∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，然后根据勾股定理得出答案．

解答 （1）证明：由题意可得：△ABD、△BCE为正三角形，
∴AB=DB，BC=BE，
∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠ABC=∠CBE+∠ABC，
即∠DBC=∠ABE；
在△DBC和△ABE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{DB=AB}\\{∠DBC=∠ABE}\\{BC=BE}\end{array}\right.$，
∴△DBC≌△ABE（SAS），
∴CD=AE；
（2）解：如图②，

以AC为边向外作正△ACE，则AD=BE，
在△ABE中，∠BAE=∠BAC+∠CAE=30°+60°=90°，
∵AB=$\sqrt{2}$，AE=AC=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=BE=$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正三角形的性质以及勾股定理等知识，正确应用等边三角形的性质是解题关键．