Question

11．在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，PM⊥MQ．P、Q分别在边AC、BC上．
尝试探究：在如图中，若AC=BC，连接CM后请探究PM与MQ的数量关系是相等并加以证明．

Answer 1

分析 连接CM，根据AB=AC，∠C=90°，M是AB中点，证得AM=MB=MC，CM⊥AB，∠PAM=∠MCQ=45°，由PM⊥MQ推出出∠CMQ=∠AMP=90°-∠CMP，即可证得△AMP≌△CQM，由全等三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接CM，
在△ABC中，AB=AC，∠C=90°，M是AB中点，
则AM=MB=MC，CM⊥AB，
∴∠PAM=∠MCQ=45°，
∴PM⊥MQ，
∴∠CMQ=∠AMP=90°-∠CMP，
在△AMP和△CQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAM=∠MCQ}\\{AM=CM}\\{∠AMP=∠CMQ}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△CQM（ASA），
∴MP=MQ，
故答案是：相等．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AMP和△CQM是解题的关键．