Question

4．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在坐标轴上，点B的坐标为（-4，3）．把矩形OABC沿直线BE折叠（点E在边CO上），使点C落在边AB上的点F处，连接EF，点G为EF的中点，直线CG与y轴交于点H．

（1）点F的坐标为（-1，3），点G的坐标为（-1，$\frac{3}{2}$），点H的坐标为（0，2）；
（2）有一动点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿C→O→H运动，点P到达终点H时停止运动．设运动时间为t秒，△CPG的面积为y（平方单位），求y与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M，N，B，G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）易知四边形BCEF是正方形，可得F（-1，3），G（-1，$\frac{3}{2}$），求出直线CG的解析式即可求出点H坐标；
（2）分两种情形①如图2中，当0＜t≤4时．②如图3中，当4＜t≤6时，分别求解即可；
（3）存在，如图④⑤⑥，点M就是直线MG和直线MN的交点，求解析式，再列方程组求解即可．

解答 解：（1）如图1中，易知四边形BCEF是正方形，BC=CE=BF=EF=3，

∵AB=OC=4，
∴AF=OE=1，
∴F（-1，3），G（-1，$\frac{3}{2}$），
∴直线CG的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴点H的坐标为（0，2），
故答案为（-1，3），（-1，$\frac{3}{2}$），H（0，2）．

（2）①如图2中，当0＜t≤4时，y=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$t．

②如图3中，当4＜t≤6时，

y=S_△COH-S_△COP-S_△PGH=$\frac{1}{2}$×4×2-$\frac{1}{2}$×4×（t-4）-$\frac{1}{2}$×（6-t）×1=9-$\frac{3}{2}$t．
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x}&{（0＜t≤4）}\\{9-\frac{3}{2}t}&{（4＜t≤6）}\end{array}\right.$．

（3）存在，如图④，点N在y轴正半轴时，
设MG的解析式为：y=kx+b，
把C（-4，0），G（-1，1.5）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1.5}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=0.5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴MG：y=0.5x+2，
∴H（0，2），
∵四边形MNBG是平行四边形，
∴BN∥MG，
∴设BN的解析式为：y=0.5x+n，
把B（-4，3）代入得：n=5，
∴BN：y=0.5x+5，
∴N（0，5），
同理得BG：y=-0.5x+1，
∵MN∥BG，
∴MN：y=-0.5x+5，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-0.5x+5}\\{y=0.5x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3.5}\end{array}\right.$，
∴M（3，3.5）．
如图⑤，点N在y轴负半轴时，
CG：y=0.5x+2，
∴设M（a，0.5a+2），
BG：y=-0.5x+1，则设MN：y=-0.5x+b，N（0，b），
∴3-（0.5a+2）=1.5-b，
-0.5a+b=0.5①，
把M（a，0.5a+2）代入MN中，0.5a+2=-0.5a+b，
a-b=-2②，
由①②得：a=-3，b=-1，
∴M（-3，0.5），
如图⑥，当BG为对角线时，G（-1，$\frac{3}{2}$），
∴EG=$\frac{3}{2}$，
过M作MP⊥BC于P，过G作GQ⊥y轴于Q，
易得△BMP≌△NGQ，
∴MP=GQ=1，
∵CE∥MP，
∴∠GCE=∠CMP，
∴tan∠GCE=tan∠CMP=$\frac{EG}{CE}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$，
∴M（-5，-$\frac{1}{2}$），
综上所述：符合条件的点M的坐标为（3，3.5）、（-3，0.5）、（-5，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题是四边形的综合题，综合考查出矩形、平行四边形、等腰直角三角形折叠的性质，与点的坐标和一次函数相结合，同时又运用了三角形的面积和解一元二次方程，知识点较多；运用了数形结合和分类讨论的思想，使问题得以解决，属于中考压轴题．