Question

5．已知抛物线经过A（-1，）、B（3，0），C（0，3），点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，求NF的长；
（3）在第（2）小题的条件下，直线NF上是否存在点M，使得以点M为圆心、OM为半径的圆与直线CD相切？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设该抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），把C（0，3）代入该函数解析式可以求得a的值；由抛物线解析式来求其顶点坐标；
（2）设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），把C、D两点的坐标代入，求出直线CD的解析式；
（3）设存在，作MQ⊥CD于Q，由Rt△FQM∽Rt△FNE，得 $\frac{MQ}{EN}$=$\frac{FM}{EF}$，及可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点M的坐标．

解答 解：（1）设该抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0），把C（0，3）代入，得
3=a（0+1）（0-3），
解得a=-1，
则该抛物线解析说法为：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．
当x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1时，y=4．
所以点D的坐标是（1，4）；

（2）设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），把C（0，3），D（1，4）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k+b=4}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{k=1}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=x+3，
∴E（-3，0），
∴OE=OC=3，
∴∠AEC=45°．
∵点N是OB的中点，
∴ON=$\frac{3}{2}$，NE=$\frac{9}{2}$．
∵FN⊥x轴，
∴∠AEC=∠EFN=45°，
∴NF=EN=$\frac{9}{2}$；

（3）存在．
由（2）得，E（-3，0），
∵点B的坐标（3，0），N是线段OB的中点，
∴N（$\frac{3}{2}$，0）
∴F（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$），EN=$\frac{9}{2}$，
作MQ⊥CD于Q，
设存在满足条件的点M（$\frac{3}{2}$，m），则FM=$\frac{9}{2}$-m，
EF=$\sqrt{（\frac{9}{2}）^{2}+（{\frac{9}{2}）}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，MQ=OM=$\sqrt{\frac{9}{4}+{m}^{2}}$，由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，
∴$\frac{MQ}{EN}$=$\frac{FM}{EF}$，
即$\frac{\sqrt{\frac{9}{4}+{m}^{2}}}{\frac{9}{2}}$=$\frac{\frac{9}{2}-m}{\frac{9\sqrt{2}}{2}}$，
∴2（$\frac{9}{4}$+m²）=（$\frac{9}{2}$-m）²，
整理得4m²+36m-63=0，
∴m²+9m=$\frac{63}{4}$，
m²+9m+$\frac{81}{4}$=$\frac{63}{4}$+$\frac{81}{4}$，
（m+$\frac{9}{2}$）²=$\frac{144}{4}$，
m+$\frac{9}{2}$=±$\frac{12}{2}$，
∴m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=-$\frac{21}{2}$，
∴点M的坐标为M₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），M₂（$\frac{3}{2}$，-$\frac{21}{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有一元二次方程的解法．在求有关存在不存在问题时要注意先假设存在，再讨论结果．