Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC及其外角∠CAF的平分线，CE⊥AE
（1）求证：AB=DE；
（2）若S_△ABC=48，AD=8，P为线段CE上的动点，设x为点P到直线AC的距离，y为点P到直线AB的距离，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，
∵AD是∠BAC的平分线，AE是∠CAF的外角平分线，
∴∠DAC+∠CAE=90°即∠DAE=90°，
又CE⊥AE，
∴四边形ADCE为矩形；
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE，

（2）解：∵S_△ABC=48，AD=8，
∴BC=12，
∵AD⊥BC，AB=AC，
∴DC=6，
∴AC=10，
∵x为点P到直线AC的距离，y为点P到直线AB的距离，
∴当P与C点重合，
∴PM•AB=AD•BC，
∴10PM=8×12，
∴PM=9.6，
∴x=0，y=9.6，
∴x+y=9.6，
∴y=9.6-x（0≤x≤4.8）．
当P与E点重合，
过点P作PS⊥BA，PN⊥AC，
∵PN•AC=AP•PC，
∴10PN=8×6，
∴PN=4.8，
∵AE是外角∠CAF的平分线，
∴PS=PN，
∴x=4.8，y=4.8，
∴x+y=9.6，
∴y=9.6-x（0≤x≤4.8）．
综上所述，可以得出P点在线段CE上移动时，
y与x的函数关系式为：y=9.6-x，自变量x的取值范围为：0≤x≤4.8．
分析：（1）对矩形判定的考查，由AB=AC，AD是∠BAC的平分线，可得AD⊥BC，CE⊥AE于点，可得出四边形ADCE为矩形，从而得到AC=DE，进而得到答案；
（2）首先根据已知条件得出BC，再根据等腰三角形的性质得到DC，再利用勾股定理求出AC的长，利用三角形面积相等，当P与E点重合，当P与C点重合，求出y与x的函数关系式即可．
点评：此题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理的应用，解决问题的关键是：①证明四边形ADCE为矩形，②求出AC的长．