Question

【题目】如图，射线平分，为射线上一点，以为圆心，10为半径作，分别与两边相交于、和、，连结，此时有．

（1）求证：；

（2）若，求弦的长；

Answer 1

【答案】（1）证明过程见解析；（2）12；

【解析】

（1）根据角平分线的定义可得∠DPO=∠BPO，然后根据平行线的性质可得∠DPO=∠POA，从而得出∠BPO=∠POA，然后根据等角对等边即可证出结论；

（2）过点O作OH⊥AB于点H，根据垂径定理可得，然后根据锐角三角函数证出PH=2OH，设OH=x，则PH=2x，根据勾股定理列出方程即可求出x，从而求出AH和AB．

（1）证明：∵PG平分∠EPF，

∴∠DPO=∠BPO，

∵OA∥PE，

∴∠DPO=∠POA，

∴∠BPO=∠POA，

∴PA=OA；

（2）解：过点O作OH⊥AB于点H，则

∵

∴PH=2OH

设OH=x，则PH=2x，

由（1）可知PA=OA=10，

∴AH=PH-PA=2x-10，

∵AH2+OH2=OA2，

∴（2x-10）2+x2=102

解得x1=0（不合题意，舍去），x2=8，

∴AH=6，

∴AB=2AH=12；