Question

已知实数x、y满足x²+xy+y²=1，则x²-xy+y²的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

分析：观察可看出未知数的值没有直接给出，而是隐含在题中，我们需要对所求代数式进行整理然后求解．

解答：解：设x²-xy+y²=A
x²-xy+y²=A与x²+xy+y²=1相加可以得到：
2（x²+y²）=1+A    （1）
x²-xy+y²=A与x²+xy+y²=1相减得到：
2xy=1-A       （2）
（1）+（2）×2得：
2（x²+2xy+y²）=2（x+y）²=3-A≥0
∴A≤3，
（1）-（2）×2得：
2（x-y）²=3A-1≥0，
∴A≥

1

3

．
综上：

1

3

≤A≤3．

点评：本题考查了完全平方公式，关键是设一个未知数，然后利用完全平方公式相加或相减，再根据平方数非负数的性质得出它的最大值和最小值．