Question

在△ABC中

（1）如图1，∠A=50°，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠BOC=

 

；
（2）如图2，∠A=60°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线（即∠OBC=

1

3

∠ABC，∠OCB=

1

3

∠ACB），求∠BOC的度数；
（3）如图3，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的n等分线（即∠OBC=

1

n

∠ABC，∠OCB=

1

n

∠ACB），求∠BOC与∠A的数量关系．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据平分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据三等分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；
（3）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据n等分线求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；

解答：解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

×130°=65°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°，
故答案为：115°；

（2）∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，
∴∠OBC+∠OCB=

1

3

(180°-60°)=40°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°，

（3）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的n等分线，
∴∠OBC+∠OCB=

1

n

（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-

1

n

（180°-∠A）
=

n-1

n

•180°+

1

n

∠A．

点评：本题考查了角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较好，求解过程类似．