[题目]如图.在Rt△ABC中.∠C＝90°.翻折∠C.使点C落在斜边AB上某一点D处.折痕为EF(点E.F分别在边AC.BC上).给出以下判断:①当CD⊥AB时.EF为△ABC的中位线,②当四边形CEDF为矩形时.AC＝BC,③当点D为AB的中点时.△CEF与△ABC相似,④当△CEF与△ABC相似时.点D为AB的中点．其中正确的是 (把所有正确的结论的序号都填在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E，F分别在边AC，BC上），给出以下判断：①当CD⊥AB时，EF为△ABC的中位线；②当四边形CEDF为矩形时，AC＝BC；③当点D为AB的中点时，△CEF与△ABC相似；④当△CEF与△ABC相似时，点D为AB的中点．其中正确的是_____（把所有正确的结论的序号都填在横线上）．

【答案】①③

【解析】

①如图1，根据折叠的性质得到CE=DE，根据直角三角形的性质即可得到结论；
②根据矩形的性质得到CE=DE，折叠四边形CEDF是正方形，根据任意一个直角三角形都有一个内接正方形即可得到结论；
③如图2，连接CD，与EF交于点Q，根据直角三角形的性质得到CD=DB=AB，于是得到∠DCB=∠B，由轴对称的性质得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到结论；
④分两种情况讨论：当△CEF∽△CBA时，由相似三角形的性质得到∠EFD=∠CAB，∠EDF=∠ECF=90°，推出C，E，D，F四点共圆，根据圆周角定理得到∠ACD=∠EFD，等量代换得到∠ACD=∠A，根据等腰三角形的性质得到AD=CD，同理CD=BD，即可得到结论；当△CEF∽△CAB时，点D不一定是AB的中点，取决于AC与AB的关系．

①如图1，

∵翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF，

∴CE＝DE，

∴∠ECD=∠EDC

∵CD⊥AB，

∴∠ECD+∠A=∠EDC+∠EDA=90°

∴∠EDA=∠A

∴DE＝AE，

∴AE＝CE，同理CF＝BF，

∴EF为△ABC的中位线；故①正确；

②∵CE＝DE，四边形CEDF为矩形

∴折叠四边形CEDF是正方形，根据任意一个直角三角形都有一个内接正方形，

AC不一定等于BC,故②错误；

③当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似，

理由如下：如图2，连接CD，与EF交于点Q，

∵CD是Rt△ABC的中线，

∴CD＝DB＝AB，

∴∠DCB＝∠B，

由轴对称的性质可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，

∴∠DCB+∠CFE＝90°，

∵∠B+∠A＝90°，

∴∠CFE＝∠A，

又∵∠C＝∠C，

∴△CEF∽△CBA；故③正确；

④△CEF与△ABC相似，

当△CEF∽△CBA时，

∴∠EFD＝∠CAB，∠EDF＝∠ECF＝90°，

∴C，E，D，F四点共圆，

∴∠ACD＝∠EFD，

∴∠ACD＝∠A，

∴AD＝CD，同理CD＝BD，

∴点D为AB的中点，

当△CEF∽△CAB时，

点D不一定是AB的中点，

故④错误．

故答案为：①③．

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