Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于点（0，$\frac{5}{2}$），与直线AB交于点A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$），点D是抛物线A、B两点间部分上的一动点（不与点A、B重合），直线CD∥y轴，交直线AB于C，连接AD、BD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求当S取最大值时的点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把抛物线的三个点的坐标代入y=ax²+bx+c得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设D（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）（-1＜m＜4），则C（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），于是可表示出CD=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，然后根据三角形面积公式，利用S=S_△ACD+S_△BCD可得到S与m的关系式，最后利用二次函数的性质求出当S取最大值时的m的值，从而得到点C的坐标．

解答 解：（1）把点（0，$\frac{5}{2}$），A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$）代入y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=\frac{5}{2}}\\{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$；
（2）设AB的解析式为y=kx+n，
把A（-1，0），B（4，$\frac{5}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{4k+n=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，
设D（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）（-1＜m＜4），则C（m，$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$），
所以CD=-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$-（$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，
所以S=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$•（4+1）•CD=-$\frac{5}{4}$m²+$\frac{15}{4}$m+5=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{125}{16}$，
当m=$\frac{3}{2}$时，S取最大值$\frac{125}{16}$，此时C点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式；会根据三角形面积公式，运用面积的和差计算图形的面积．