Question

14．如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的$\frac{1}{5}$，则cosA=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，
易知四边形BMDN是菱形，设S_△OMB=S_△ONB=S_△OMD=S_△OND=a，因为四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的$\frac{1}{5}$，所以S_△AMB=S_△AMD=S_△CNB=S_△CND=4a，推出AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，由△ABO∽△BNO，推出OB²=OA•ON=5k²，推出OB=$\sqrt{5}$k，AB=AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{30}$k，由$\frac{1}{2}$AD•BH=$\frac{1}{2}$•BD•AO，推出BH=$\frac{AO•BD}{AD}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{6}$，再利用勾股定理求出AH即可解决问题．

解答 解：如图，连接AN、CM，延长BM交AD于H．

∵AB⊥BN，AD⊥DN，
∴∠ABN=∠ADN=90°，
在Rt△ANB和Rt△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=AN}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADN，
∴∠BAN=∠DAN，
∴AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于点O，
易知四边形BMDN是菱形，设S_△OMB=S_△ONB=S_△OMD=S_△OND=a，
∵四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的$\frac{1}{5}$，
∴S_△AMB=S_△AMD=S_△CNB=S_△CND=4a，
∴AM=4OM，CN=4ON，设ON=OM=k，则AM=CN=4k，
∵△ABO∽△BNO，
∴OB²=OA•ON=5k²，
∴OB=$\sqrt{5}$k，AB=AD=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{30}$k，
∵$\frac{1}{2}$AD•BH=$\frac{1}{2}$•BD•AO，
∴BH=$\frac{AO•BD}{AD}$=$\frac{5}{3}$$\sqrt{6}$，
∴AH=$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{30{k}^{2}-\frac{25×6}{9}{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{30}$k，
∴cosA=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{\frac{2}{3}\sqrt{30}k}{\sqrt{30}k}$=$\frac{2}{3}$．

故答案为$\frac{2}{3}$

点评 本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线段，所以中考常考题型．