Question

6．已知：如图，以C（-1，0）为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B，直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$
（1）求证：直线l与⊙C相切；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）作CD⊥l于D，设直线l交x轴与E，交y轴于F，由解析式求得，∠E=30°，E（-5，0），F（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），通过解直角三角形函数求得OD=2=半径，即可证得结论；
（2）根据S_阴影=S_△EOF-S_扇形CAG-S_△OCG求得即可．

解答 （1）证明：作CD⊥l于D，设直线l交x轴与E，交y轴于F，
由直线l的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$可知，∠E=30°，
令y=0，则$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{3}$=0，解得x=-5，
∴E（-5，0），
令x=0，则y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴F（0，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
∵C（-1，0），
∴EC=4，
∴OD=$\frac{1}{2}$EC=2，
∵⊙C的半径为2，
∴直线l与⊙C相切；
（2）解：设⊙C于y轴交于G点，
∵CG=2，OC=1，
∴∠OCG=60°，
∴∠AOG=2=120°，OG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG=$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_△EOF-S_扇形CAG-S_△OCG
=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{5\sqrt{3}}{3}$-$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，一次函数的性质，解直角三角形以及扇形面积的计算等，求得∠OCG=60°是解题的关键．