Question

13．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N．下列说法：①四边形EDCN是菱形；②正五边形共有5条对角线，它们都想等；③△AEN与△EDM全等．其中说法正确的有①②③（只填序号）

Answer 1

分析 由正五边形的性质可得AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠CDE=108°，证出BE∥CD，AC∥DE，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得①正确；由SAS证明△ABE≌△EAD，得出BE=AD，同理：AC=BE=BD=CE，得出②正确；由AAS证明△AEN≌△EDM，得出③正确；即可得出结果．

解答 解：连接BD、CE，如图所示；：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，∠BAE=∠AED=∠CDE=108°，
在△ABE和△EAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EA}&{\;}\\{∠BAE=∠AED}&{\;}\\{AD=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EAD（SAS），
∴BE=AD，
同理：AC=BE=BD=CE，
∴AC=BE=BD=CE=AD，②正确；
∵AB=AE，∠BAE=108°，
∴∠AEB=∠ABE=36°，
∴∠DEM=72°，
同理：∠EDM=36°，∠DME=72°，
∴∠DME=72°=∠ANE，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴BE∥CD，
同理：AC∥DE，
∴四边形EDCN是平行四边形，
∵CD=DE，
∴四边形EDCN是菱形，①正确；
在△AEN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEN=∠EDM}&{\;}\\{∠ANE=∠DME}&{\;}\\{AE=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEN≌△EDM（SAS）；
说法正确的有①②③．
故答案为：①②③．

点评 本题考查了正五边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定方法、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，难度适中，熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键．