Question

16．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+6与x、y轴分别交于点A，B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）将线段AB折叠，使点A与点B重合，折痕CD交x轴于点C，交AB于点D．求点C的坐标；
（3）在直线AB上是否存在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，y=0，解方程即可解决问题．
（2）由CB=CA，设CB=AC=x，在Rt△OBC中，根据OB²+OC²=BC²，可得6²+（8-x）²=x²，解方程即可．
（3）分三种情形①当CP₁=CA时，P与B重合，②P₂C=P₂A时，∴y=-$\frac{3}{4}$×$\frac{39}{8}$+6=$\frac{75}{32}$，③当AP=AC时，分别求解即可．

解答 解：（1）对于y=-$\frac{3}{4}$x+6，
令x=0，得y=6，∴点B坐标（0，6），
令y=0得x=8，∴点A坐标（8，0）．

（2）∵CB=CA，设CB=AC=x，
在Rt△OBC中，∵OB²+OC²=BC²，
∴6²+（8-x）²=x²，
∴x=$\frac{25}{4}$，
∴OC=OA-AC=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴点C坐标（$\frac{7}{4}$，0）．

（3）①当CP₁=CA时，P与B重合，P₁（0，6）．
②P₂C=P₂A时，点P的横坐标为$\frac{39}{8}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$×$\frac{39}{8}$+6=$\frac{75}{32}$，
∴P₂（$\frac{39}{8}$，$\frac{75}{32}$）
③当AP=AC时，P₃（3，$\frac{15}{4}$）或P₄（13，-$\frac{15}{4}$）．
综上所述，点P坐标为（0，6）或（$\frac{39}{8}$，$\frac{75}{32}$）或（3，$\frac{15}{4}$）或（13，-$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查一次函数综合题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．