Question

11．已知二次函数y=-x²+2x+3．
（1）求抛物线顶点M的坐标；
（2）设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，求A，B，C的坐标（点A在点B的左侧），并画出函数图象的大致示意图；
（3）根据图象，写出不等式-x²+2x+3＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）将二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出点M的坐标即可；
（2）令y=0求出点A、B的坐标，令x=0求出点C的坐标，然后作出二次函数大致图象即可；
（3）根据函数图象写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可．

解答 解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点M的坐标为（1，4）；

（2）令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∵点A在点B的左侧，
∴A（-1，0），B（3，0），
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
函数图象的大致示意图如图；

（3）由图可知，不等式-x²+2x+3＞0的解集为-1＜x＜3．

点评 本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点问题，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．