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【题目】已知:直线mn,点AB分别是直线mn上任意两点,在直线n上取一点C,使BC=AB,连接AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF=ABCEF交直线m于点F

1)如图1,当点E在线段AC上,且∠AFE=30°时,求∠ABE的度数;

2)若点E是线段AC上任意一点,求证:EF=BE

3)如图2,当点E在线段AC的延长线上时,若∠ABC=90°,请判断线段EFBE的数量关系,并说明理由.

【答案】130°;(2)见解析;(3EF=BE,见解析

【解析】

1)根据平行线的性质得到∠FAB=ABC,根据三角形内角和定理解答即可;

2)以点E为圆心,以EA为半径画弧交直线m于点M,连接EM,证明AEB≌△MEF,根据全等三角形的性质证明;

3)在直线m上截取AN=AB,连接NE,证明NAE≌△ABE,根据全等三角形的性质得到EN=EB,∠ANE=ABE,证明EN=EF,等量代换即可.

1)∵mn

∴∠FAB=ABC

∵∠BEF=ABC

∴∠FAB=BEF

∵∠AHF=EHB,∠AFE=30°

∴∠ABE=30°

2)如图1,以点E为圆心,以EA为半径画弧交直线m于点M,连接EM

EM=EA

∴∠EMA=EAM

BC=AB

∴∠CAB=ACB

mn

∴∠MAC=ACB,∠FAB=ABC

∴∠MAC=CAB

∴∠CAB=EMA

AEBMEF中,

∴△AEB≌△MEFAAS

EF=EB

3EF=BE

理由如下:如图2,在直线m上截取AN=AB,连接NE

∵∠ABC=90°

∴∠CAB=ACB=45°

mn

∴∠NAE=ACB=CAB=45°,∠FAB=90°

NAEABE中,

∴△NAE≌△ABESAS),

EN=EB,∠ANE=ABE

∵∠BEF=ABC=90°

∴∠FAB+BEF=180°

∴∠ABE+EFA=180°

∴∠ANE+EFA=180°

∵∠ANE+ENF=180°

∴∠ENF=EFA

EN=EF

EF=BE

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