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【题目】已知:如图,抛物线y=ax2+bx+6x轴于A﹣20),B30)两点,交y轴于点C.

1)求ab的值;

2)连接BC,点P为第一象限抛物线上一点,过点AADx轴,过点PPDBC于交直线AD于点D,设点P的横坐标为tAD长为d,求dt的函数关系式(请求出自变量t的取值范围);

3)在(2)的条件下,DPBC交于点F,过点DDEABBC于点E,点Q为直线DP上方抛物线上一点,连接APPC,若DP=CEQPC=APD时,求点Q坐标.

【答案】1a=-1b=1;(2d=t2+t+50t3);(3)点Q坐标为Q16)或Q ).

【解析】试题分析:

(1)把A、B两点的坐标代入抛物线的解析式列出关于a、b的二元一次方程组,解方程组即可求得a、b的值;

2如下图2过点PPGDE于点K,交x轴于点G,作DKPG于点K则由已知条件易得BCO=PDK,由此可得tanPDK==tanBCO,结合OB=3OC=6DK=t+2可得PK=DK=t+2);再证四边形ADKG是矩形可得KG=AD=d=PG-PK结合PG=-t2+t+6即可得到dt间的函数关系式了,由点P在第一象限的图象上可得0<t<3

3)如下图3过点PPHAD于点Hy轴于点R由已知条件易证PHD≌△CNE从而可得PH=CN结合CN=OC-ONPH=t+2可得关于t的方程t+2=t2t+1解方程可得t1=2t2=(舍),把t=2代入抛物线y=x2+x+6=4可得点P24,由此可得PR=CRPH=AH,从而可得∠APC=90°结合QPC=APD可得QPD=90°然后分点P在第一象限的抛物线上和第三象限的抛物线上两种情况讨论计算即可得到对应的点Q的坐标.

试题解析

1∵抛物线y=ax2+bx+6过点A﹣20),B30),则

,解得:

故抛物线解析式为y=﹣x2+x+6

2)如下图2,过点PPG⊥x于点G过点DDK∥x轴交PG于点K


PDBCDEy轴,∠BCO=PDKOB=3OC=6

tanBCO=tanPDK=DK=t+2PK=DK=t+2),

DKABADAB

∴四边形ADKG为矩形,

AD=KG

d=AD=KG=PGPK=t2+t+6t+2=t2+t+50t3);

3)如图3,过点PPHAD于点H

PHDCNE中,

∴△PHD≌△CNE

PH=CN=OC﹣ON

∵四边形ADON为矩形,

CN=6t2+t+5=t2t+1PH=t+2

t+2=t2t+1

解得t1=2t2=(舍),

t=2代入抛物线y=﹣x2+x+6=4

∴点P24),

PHy轴交于点RPR=CR=2

∴∠CPR=45°PH=AH=4

∴∠APH=45°

∴∠APC=90°

∵∠QPC=APD

∴∠QPD=90°

当点Q在第一象限时,过点QQLPH于点L

∴∠LQP=HPD

tanLQP=tanHPD=

设点Qm﹣m2+m+6),PL=2﹣mQL=﹣m2+m+2,则

=

解得m1=1m2=2(舍),

m=1 代入﹣m2+m+6=6

Q16),

当点Q在第二象限时,过点QQMPH

∵∠CPH=APH=45°QPC=APD

∴∠QPM=DPH tanQPM=tanDPH=

设点Qn﹣n2+n+6PM=2﹣n QM=﹣n2+n+2

=

解得n1=n2=2(舍),

n=1代入﹣n2+n+6=

Q ).

综上所述,点Q坐标为Q16)或Q ).

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探究一:将一个边长为2的正三角形的三条边平分,连接各边中点,则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?

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如图2,连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点,从上往下:共有1+2+3+4=10个结点.边长为1的正三角形,第一层有1个,第二层有2个,第三层有3个,共有1+2+3=6个,线段数为3×6=18条;边长为2的正三角形有1+2=3个,线段数为3×3=9条,边长为3的正三角形有1个,线段数为3条,总共有1+2+3+1+2+1=3×1+2+3+4=30条线段.

探究三:

请你仿照上面的方法,探究将边长为4的正三角形的三条边四等分(图3),连接各边对应的等分点,该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?

(画出示意图,并写出探究过程)

问题解决:

请你仿照上面的方法,探究将一个边长为nn≥2)的正三角形的三条边n等分,连接各边对应的等分点,则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?(写出探究过程)

实际应用:

将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分,连接各边对应的等分点,则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少?

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1)求点C的坐标;

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第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

平均成绩

中位数

10

8

9

8

10

9

9

10

7

10

10

9

8

9.5

(1)完成表中填空① ;②

(2)请计算甲六次测试成绩的方差;

(3)若乙六次测试成绩方差为,你认为推荐谁参加比赛更合适,请说明理由.

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