Question

【题目】 如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=．

（1）求点C的坐标；

（2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式；

（3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点C坐标为（，3）；（2）S =x-；（3）存在，点F的坐标为（2，2）或（4，-2）．

【解析】

（1）根据题意求出A、B的坐标再求直线AB解析式，把直线AB与直线OC的方程联立方程组，求得的解即为点C坐标．

（2）由OD=及点D在直线y=2x上求得点D坐标，进而求得直线AD解析式，得到点P纵坐标的表示，用x表示△AOP的面积．利用S等于△AOD与△AOP面积差即求得S与x的函数关系式．

（3）由于OD是固定的，所以以OD为平行四边形的边或对角线作为分类讨论的依据．画图即得到点F的纵坐标与点D纵坐标相等或互为相反数，把纵坐标代入直线AB解析式即求得F的横坐标．

解：（1）∵OA=3，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上

∴A（3，0），OB=3OA=6

∴B（0，6）

设直线AB解析式为：y=kx+b

∴解得：

∴直线AB解析式为：y=-2x+6

∵解得：

∴点C坐标为（，3）

（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H

∵点D在线段OC上，直线OC解析式为y=2x

∴设点D（d，2d）（0＜d＜）

∴OD=

∴d=1

∴D（1，2），DG=2

设直线AD解析式为：y=ax+c

∴解得：

∴直线AD解析式为：y=-x+3

∵点P在线段AD上，且横坐标为x

∴OH=x，PH=yP=-x+3

∴S=S△AOD-S△AOP=OADG-OAPH=OA（DG-PH）=×3×（2+x-3）=x-

（3）存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形．

①当OD为平行四边形的边时，如图2，

∴|yF|=yD=2

∵|-2x+6|=2解得：x1=2，x2=4

∴F（2，2）或（4，-2）

②当OD为平行四边形的对角线时，如图3，

∴DF∥x轴，yF=yD=2

∴F（2，2）

综上所述，点F的坐标为（2，2）或（4，-2）．