Question

【题目】正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E、F分别在OC、OB上，且OE=OF．

（1）如图1，若点E、F在线段OC、OB上，连接AF并延长交BE于点M，求证：AM⊥BE；

（2）如图2，若点E、F在线段OC、OB的延长线上，连接EB并延长交AF于点M．

①∠AME的度数为 ；

②若正方形ABCD的边长为3，且OC=3CE时，求BM的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①90° ；②

【解析】

（1）由“SAS”可证△AOF≌△BOE，可得∠FAO=∠OBE，由余角的性质可求AM⊥BE；

（2）①由“SAS”可证△AOF≌△BOE，可得∠FAO=∠OBE，由余角的性质可求∠AME的度数；

②由正方形性质可求AC=6，可得OA=OB=OC=3，AE=7，OE=4，由勾股定理可求BE=5，通过证明△OBE∽△MAE，可得，可求ME的长，即可得BM的长．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形

∴AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

∵AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，OE=OF

∴△AOF≌△BOE（SAS）

∴∠FAO=∠OBE，

∵∠OBE+∠OEB=90°，

∴∠OAF+∠BEO=90°

∴∠AME=90°

∴AM⊥BE

（2）①∵四边形ABCD是正方形

∴AO=BO=CO=DO，AC⊥BD

∵AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，OE=OF

∴△AOF≌△BOE（SAS）

∴∠FAO=∠OBE，

∵∠OBE+∠OEB=90°，

∴∠FAO+∠OBE=90°

∴∠AME=90°

故答案为：90°

②∵AB=BC=3，∠ABC=90°

∴AC=6

∴OA=OB=OC=3

∵OC=3CE

∴CE=1，

∴OE=OC+CE=4，AC=AC+AE=7

∴BE==5

∵∠AME=∠BOE=90°，∠AEM=∠OEB

∴△OBE∽△MAE

∴

∴

∴ME=

∴MB=ME-BE=-5=