【题目】解方程组及不等式组,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.
(1) ;
(2);
(3) .
【答案】(1) ;(2) ;(3)-2<x≤1,数轴表示见解析。
【解析】
(1)(2)根据加减消元法,可得方程组的解;
(3)根据解不等式的方法,可得不等式的解集,根据不等式解集的公共部分是不等式组的解集,可得答案.
(1)①+②,得3x=15,解得x=5.
把x=5代入①,得y=-1,
∴原方程组的解为;
(2)由①得5x+15y=6③,
由②得5x-10y=-4④,
③-④,得25y=10,
解得y=.
把y=代入④中,得x=0,
∴原方程组的解为;
(3)不等式①去分母,得x-3+6≥2x+2,
移项,合并得x≤1.
不等式②去括号,
得1-3x+3<8-x,
移项,合并得x>-2.
∴不等式组的解集为-2<x≤1
数轴表示为
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【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B、C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由;
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点H.
①求证:BD⊥CF;
②当AB=2,AD=3 时,求线段DH的长.
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【题目】李梅同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图1的四边形,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:如图1,在四边形中,,
求证:四边形是 四边形.
(1)填空,补全已知和求证;
(2)按李梅的想法写出证明.
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【题目】某工厂有甲种原料130kg,乙种原料144kg.现用这两种原料生产出A,B两种产品共30件.已知生产每件A产品需甲种原料5kg,乙种原料4kg,且每件A产品可获利700元;生产每件B产品需甲种原料3kg,乙种原料6kg,且每件B产品可获利900元.设生产A产品x件(产品件数为整数件),根据以上信息解答下列问题:
(1)生产A,B两种产品的方案有哪几种;
(2)设生产这30件产品可获利y元,写出y关于x的函数解析式,写出(1)中利润最大的方案,并求出最大利润.
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【题目】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
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【题目】某班级45名同学自发筹集到1700元资金,用于初中毕业时各项活动的经费.通过商议,决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照,其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品.已知每件文化衫28元,每本相册20元.
(1)适用于购买文化衫和相册的总费用为W元,求总费用W(元)与购买的文化衫件数t(件)的函数关系式.
(2)购买文化衫和相册有哪几种方案?为了使拍照的资金更充足,应选择哪种方案,并说明理由.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D ,点E为线段BC的中点,AD=2,tan A=2.
(1)求AB的长;
(2)求DE的长.
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【题目】请先阅读下列材料,再解答下列问题:
材料:因式分解:(x y)22(x y)1 .
解:将“ x y”看成整体,令 x y=A ,则
原式 A2A 1 ( A 1)2
再将“A”还原,得:原式 (x y 1)2 . 上述解题时用到的是“整体思想”,整体思想是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:(x y)26(x y) 9 = ;
(2)因式分解:(a b)(a b 4) 4 ;
(3)证明:若 n 为正整数,则式子(n 1)(n 2)(n23n) 1 的值一定是某一个整数的平方.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B′D的最小值是( )
A.2﹣2
B.6
C.2﹣2
D.4
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