Question

7．如图，E是边长为1的正方形ABCD中CD边上一点，CD=$\sqrt{3}$DE，△ABF是由△ADE顺时针旋转而成的图形
（1）∠FAB的度数是多少？
（2）连接EF，△AEF的面积是多少？
（3）若把△ADE逆时针同样的度数而成△AD′E′，AE的中点M，M′是M的对应点，求MM′的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为正方形，得到AD=AB，∠DAB=90°，又△ADE绕点A顺时针旋转后与△ABF重合，则∠DAE等于∠BAF，根据CD=$\sqrt{3}$DE，可得tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$，即可得到∠FAB的角度．
（2）证得△AEF是等腰直角三角形，根据勾股定理求得AE²=$\frac{4}{3}$，然后根据三角形的面积公式即可求得；
（3）证得△AEE′是等腰直角三角形，根据勾股定理求得EE′的长，然后根据中位线定理即可求得．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
又∵△ADE绕点A顺时针旋转后与△ABF重合，
∴∠DAB=∠EAF=90°，
∵CD=$\sqrt{3}$DE，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DAE=30°，
∴∠FAB=30°．
（2）如图1，连接EF，
∵∠DAE=∠FAB=30°，
∴∠FAE=90°，
∵AF=AE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵AD=1，AD=CD=$\sqrt{3}$DE，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AE²=AD²+DE²=1²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{4}{3}$，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$AE²，
∴S_△AEF=$\frac{2}{3}$；
（3）同理△AEE′是等腰直角三角形，
如图2，∴EE′²=2AE²=$\frac{8}{3}$，
∴EE′=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∵MM′是△AEE′的中位线，
∴MM′=$\frac{1}{2}$EE′=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角函数，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．