Question

10．【发现问题】如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．求证：△DFM≌△MGE．
【拓展探究】如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，若AD=5，AB=6，△DFM的面积为32，直接写出△MGE的面积．

Answer 1

分析 【发现问题】根据等腰直角三角形的性质得到∠DFB=90°，DF=FA；∠EGC=90°，AG=GE，根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC，MG∥AB，推出四边形AFMG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，即可得到结论；                
【拓展探究】根据三角形的中位线的性质得到FM∥AC，MG∥AB，FM=$\frac{1}{2}$AC=AG，MG=$\frac{1}{2}$AB=AF，∠MGC=∠BAC=∠BFM，等量代换得到∠DFM=∠MGE，根据余角的性质得到∠1=∠3，根据三角函数的定义$\frac{DF}{AF}=\frac{AG}{GE}$，推出$\frac{DF}{MG}=\frac{FM}{EG}$，得到△DFM∽△MGE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 【发现问题】证明：∵△ADB是等腰直角三角形，F为斜边AB的中点，
∴∠DFB=90°，DF=FA；
∵△ACE是等腰直角三角形，G为斜边AC的中点，
∴∠EGC=90°，AG=GE，
∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴FM=AG，MG=FA，∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠MGC，
∴DF=MG，∠DFM=∠MGE，FM=GE，
在△DFM与△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=MG}\\{∠DFM=∠MGE}\\{FM=GE}\end{array}\right.$，
∴△DFM≌△MGE．                  
【拓展探究】∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，
∴FM∥AC，MG∥AB，FM=$\frac{1}{2}$AC=AG，MG=$\frac{1}{2}$AB=AF，∠MGC=∠BAC=∠BFM，
∴∠DFM=∠MGE，
∵∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴tan∠1=tan∠3，
即$\frac{DF}{AF}=\frac{AG}{GE}$，
∴$\frac{DF}{MG}=\frac{FM}{EG}$，
∵∠DFM=∠MGE，
∴△DFM∽△MGE，
∴$\frac{{S}_{△MGE}}{{S}_{△DMF}}$=（$\frac{MG}{DF}$）²=$\frac{9}{16}$，
∴S_△MGE=18．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质．三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质，证得△DFM∽△MGE是解题的关键．