Question

20．用配方法把二次函数y=1+2x-x²化为y=a（x-h）²+k的形式，作出它的草图，回答下列问题．
（1）求抛物线的顶点坐标和它与x轴的交点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）当x取何值时，y的值小于0？

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到y=-（x-1）²+2，则根据二次函数的性质可得到抛物线的顶点坐标；再利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程-（x-1）²+2=0可得到它与x轴的交点坐标；
（2）根据二次函数的性质求解；
（3）有（1）得到抛物线与x轴的交点坐标，然后写出函数图象在x轴下方所对应的自变量的值即可．

解答 解：（1）y=1+2x-x²=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
所以抛物线的顶点坐标为（1，2）；
当y=0时，-（x-1）²+2=0，解得x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$，则抛物线与x轴的交点坐标为（1-$\sqrt{2}$，0）或（1+$\sqrt{2}$，0），
如图，

（2）当x＜1时，yy随x的增大而增大；
（3）当x＜1-$\sqrt{2}$或x＞1+$\sqrt{2}$时，y＜0．

点评 本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；顶点式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．