Question

9．已知直线y=2x-4+n经过原点，与反比例函数y=$\frac{n}{x}$的图象交于点A、B．求：
（1）反比例函数解析式；
（2）线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）先根据直线过原点，得出直线经过点（0，0），把点（0，0）代入直线解析式中可求出n的值，从而得到反比例函数的解析式．
（2）由n=4也可求出直线的解析式，把直线解析式和反比例函数的解析式联立方程组，通过解方程组即可求得直线与反比例函数的交点坐标，再利用两点间距离公式求得线段AB的长度．

解答 解：（1）∵直线y=2x-4+n经过原点，
∴把点（0，0）代入得-4+n=0，即n=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$（x≠0）；
（2）由（1）可知n=4，即直线的解析式为y=2x，
直线解析式与反比例函数解析式联立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
即$\frac{4}{x}$=2x（x≠0），解得x=$±\sqrt{2}$，
把x=$\sqrt{2}$代入y=2x中得y=2$\sqrt{2}$，
把x=-$\sqrt{2}$代入y=2x中得y=-2$\sqrt{2}$，
∴A、B点的坐标分别是（$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），
∴线段AB=$\sqrt{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}+2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了用待定系数法求函数解析式和函数图象交点坐标的求法以及平面直角坐标系中两点之间距离公式．通常是通过两个函数解析式联立方程组，解方程组的方法来求函数图象的交点坐标．平面直角坐标系中两点之间距离公式为：AB=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}+（{{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}}$．