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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,点D是抛物线上横坐标为6的点.点P在这条抛物线上,且不与A、D两点重合,过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q,过点Q作QF垂直于y轴,点F在点Q的右侧,且QF=2,以QF、QP为邻边作矩形QPEF.设矩形QPEF的周长为d,点P的横坐标为m.

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分时m的值.
(3)求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围.
(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,直接写出其对称中心的横坐标.

【答案】
(1)

解:把A(1,0)、B(5,0)代入y=ax2+bx+5,

解得

∴y=x2﹣6x+5


(2)

解:如图所示:∵抛物线y=x2﹣6x+5的对称轴为:x=﹣ =﹣ =3,

∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分,

可得PN=3﹣m,PE=2,

= =

解得:m= 或m=


(3)

解:当x=6时,y=x2﹣6x+5=62﹣6×6+5=5,

∴点D的坐标为(6,5).

射线AD所对应的函数表达式为y=x﹣1(x>1).

∴P(m,m2﹣6m+5),Q(m,m﹣1).

当1<m<6时,d=2(﹣m2+7m﹣6+2)=﹣2m2+14m﹣8,

当m>6时,d=2(m2﹣7m+6+2)=2m2﹣14m+16,

又d=﹣2m2+14m﹣8=﹣2(m﹣ 2+

∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4<d≤


(4)

解:当矩形QPEF的对角线互相垂直时,则矩形QPEF是正方形,边长为2,

当1<m<6时,m﹣1﹣(m2﹣6m+5)=2,

整理得:m2﹣7m+8=0,

解得:m1= ,m2=

当m>6时,m2﹣6m+5﹣(m﹣1)=2,

整理得:m2﹣7m+4=0,

解得:m3= ,m4= (舍去),

故其对称中心的横坐标为: +1= +1= +1=


【解析】(1)直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可;(2)首先求出函数对称轴进而得出m的值;(3)分别利用当1<m<6时,d=2(﹣m2+7m﹣6+2),当m>6时,d=2(m2﹣7m+6+2)求出d的取值范围即可;(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,则矩形QPEF是正方形,边长为2,进而得出m的值求出答案.
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.

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8

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22

0

22

22

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