【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,点D是抛物线上横坐标为6的点.点P在这条抛物线上,且不与A、D两点重合,过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q,过点Q作QF垂直于y轴,点F在点Q的右侧,且QF=2,以QF、QP为邻边作矩形QPEF.设矩形QPEF的周长为d,点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分时m的值.
(3)求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围.
(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,直接写出其对称中心的横坐标.
【答案】
(1)
解:把A(1,0)、B(5,0)代入y=ax2+bx+5,
,
解得 ,
∴y=x2﹣6x+5
(2)
解:如图所示:∵抛物线y=x2﹣6x+5的对称轴为:x=﹣ =﹣ =3,
∵这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分,
可得PN=3﹣m,PE=2,
∴ = 或 = ,
解得:m= 或m=
(3)
解:当x=6时,y=x2﹣6x+5=62﹣6×6+5=5,
∴点D的坐标为(6,5).
射线AD所对应的函数表达式为y=x﹣1(x>1).
∴P(m,m2﹣6m+5),Q(m,m﹣1).
当1<m<6时,d=2(﹣m2+7m﹣6+2)=﹣2m2+14m﹣8,
当m>6时,d=2(m2﹣7m+6+2)=2m2﹣14m+16,
又d=﹣2m2+14m﹣8=﹣2(m﹣ )2+ ,
∴d随m的增大而减小时d的取值范围是4<d≤
(4)
解:当矩形QPEF的对角线互相垂直时,则矩形QPEF是正方形,边长为2,
当1<m<6时,m﹣1﹣(m2﹣6m+5)=2,
整理得:m2﹣7m+8=0,
解得:m1= ,m2= ,
当m>6时,m2﹣6m+5﹣(m﹣1)=2,
整理得:m2﹣7m+4=0,
解得:m3= ,m4= (舍去),
故其对称中心的横坐标为: +1= , +1= , +1=
【解析】(1)直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可;(2)首先求出函数对称轴进而得出m的值;(3)分别利用当1<m<6时,d=2(﹣m2+7m﹣6+2),当m>6时,d=2(m2﹣7m+6+2)求出d的取值范围即可;(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,则矩形QPEF是正方形,边长为2,进而得出m的值求出答案.
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本,需要知道增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】用边长为12cm的正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子的侧面为长方形,底面为等边三角形.
(1)每个盒子需 个长方形, 个等边三角形;
(2)硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)
A方法:剪6个侧面; B方法:剪4个侧面和5个底面.
现有19张硬纸板,裁剪时x张用A方法,其余用B方法.
① 用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数;
② 若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子?
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【题目】在Rt△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D为射线AB上一点,连接CD,过点C作线段CD的垂线l,在直线l上,分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF,连接AE,BF.
(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A,B重合),如图23(a).
①请你将图形补充完整;
②线段BF,AD所在直线的位置关系为________,线段BF,AD的数量关系为________.
(2)当点D在线段AB的延长线上时,如图23(b).
在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立,请进行证明;如果不成立,请说明理由.
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【题目】如图(1),在△ABC中,AD是BC边的中线,过A点作AE∥BC与过D点作DE∥AB交于点E,连接CE.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形.
(2)连接BE,AC分别与BE、DE交于点F、G,如图(2),若AC=6,求FG的长.
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【题目】问题原型:如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=a.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.过点D作△BCD的BC边上的高DE, 易证△ABC≌△BDE,从而得到△BCD的面积为 .
初步探究:如图②,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.用含a的代数式表示△BCD的面积,并说明理由.
简单应用:如图③,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a.将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,连结CD.直接写出△BCD的面积.(用含a的代数式表示)
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(1,6),B(3,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象写出不等式kx+b﹣>0的解集;
(3)若点M在x轴上、点N在y轴上,且以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点M、N的坐标.
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【题目】小琳、晓明两人在100m的跑道上匀速跑步训练,他们同时从起点出发,跑向终点.
(1)设小琳速度为v(m/s),写出小琳跑完全程所用的时间t(s)与速度v(m/s)之间的函数关系式;
(2)已知晓明的速度是小琳速度的1.25倍,两人跑完全程,小琳要比晓明多用4s,用分式方程求小琳、晓明两人匀速跑步的速度?
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【题目】如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB=4cm,动点P以1cm/s的速度分别从点A、B同时出发,点P沿A→B向终点B运动,点Q沿B→A向终点A运动,过点P作PD⊥AC于点D,以PD为边向右侧作正方形PDEF,过点Q作QG⊥AB,交折线BC﹣CA于点G与点C不重合,以QG为边作等腰直角△QGH,且点G为直角顶点,点C、H始终在QG的同侧,设正方形PDEF与△QGH重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<4).
(1)当点F在边QH上时,求t的值;
(2)当正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形时,求S与t之间的函数关系式;
(3)当FH所在的直线平行或垂直于AB时,直接写出t的值.
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【题目】盛盛同学到某高校游玩时,看到运动场的宣传栏中的部分信息(如下表):
院系篮球赛成绩公告 | |||
比赛场次 | 胜场 | 负场 | 积分 |
22 | 12 | 10 | 34 |
22 | 14 | 8 | 36 |
22 | 0 | 22 | 22 |
盛盛同学结合学习的知识设计了如下问题,请你帮忙完成下列问题:
(1)从表中可以看出,负一场积______分,胜一场积_______分;
(2)某队在比完22场的前提下,胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗?请说明理由.
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