【题目】在Rt△ABC中,BC=AC,∠ACB=90°,D为射线AB上一点,连接CD,过点C作线段CD的垂线l,在直线l上,分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF,连接AE,BF.
(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A,B重合),如图23(a).
①请你将图形补充完整;
②线段BF,AD所在直线的位置关系为________,线段BF,AD的数量关系为________.
(2)当点D在线段AB的延长线上时,如图23(b).
在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立,请进行证明;如果不成立,请说明理由.
【答案】(1)①见解析;②垂直,相等;(2)成立,理由见解析.
【解析】
(1)①如图所示.
②根据CD⊥EF,可得∠DCF=90°.由于∠ACB=90°,可得∠ACB=∠DCF,∠ACD=∠BCF.
根据AC=BC,CD=CF,可判定△ACD≌△BCF,根据全等三角形的性质可得AD=BF,∠BAC=∠FBC,继而可得∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°,即BF⊥AD.
(2)根据CD⊥EF,可得∠DCF=90°,由于∠ACB=90°,可证∠DCF=∠ACB,
所以∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD,继而可得∠BCF=∠ACD,根据AC=BC,CD=CF,
可判定△ACD≌△BCF,根据全等三角形的性质可得AD=BF,∠BAC=∠FBC,所以∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°,即BF⊥AD.
解:(1)①如图所示.
②∵CD⊥EF,
∴∠DCF=90°.
∵∠ACB=90°,
∴∠ACB=∠DCF,
∴∠ACD=∠BCF.
又∵AC=BC,CD=CF,
∴△ACD≌△BCF,
∴AD=BF,∠BAC=∠FBC,
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°,即BF⊥AD.
故答案为:垂直,相等.
(2)成立.
证明:∵CD⊥EF,
∴∠DCF=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCF=∠ACB,
∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD,
∴∠BCF=∠ACD,
又∵AC=BC,CD=CF,
∴△ACD≌△BCF,
∴AD=BF,∠BAC=∠FBC,
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°,即BF⊥AD.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
(1)用尺规作AB的垂直平分线MN交BC于点P(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连接AP,如果AP平分∠CAB,求∠B的度数.
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【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=60°,将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2,使点N在OC的反向延长线上,请直接写出图中∠MOB的度数;
(2)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图3,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数;
(3)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
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【题目】骑自相车旅行越来越受到人们的喜爱,顺风车行经营的A型车2016年4月份销售总额为3.2万元,今年经过改造升级后A型车每辆销售比去年增加400元,若今年4月份与去年4月份卖出的A型车数量相同,则今年4月份A型车销售总额将比去年4月份销售总额增加25%. A、B两种型号车的进货和销售价格如表:
A型车 | B型车 | |
进货价格(元/辆) | 1100 | 1400 |
销售价格(元/辆) | 今年的销售价格 | 2400 |
(1)求今年4月份A型车每辆销售价多少元(用列方程的方法解答);
(2)该车行计划5月份新进一批A型车和B型车共50辆,且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍,应如何进货才能使这批车获利最多?
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【题目】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:
数轴上表示4和1的两点之间的距离是3:而|4-1|=3;表示-3和2两点之间的距离是5:而|-3-2|=5;表示-4和-7两点之间的距离是3,而|-4-(-7)|=3.
一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m-n|.
(1)数轴上表示数-5的点与表示-2的点之间的距离为______;
(2)数轴上表示数a的点与表示-4的点之间的距离表示为______;若数轴上a位于-4与2之间,求|a+4|+|a-2|的值;
(3)如果表示数a和3的两点之间的距离是7,则可记为:|a-3|=7,求a的值.
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【题目】如图,已知数轴上A、B两点所表示的数分别为-2和8.
(1)求线段AB的长;
(2)若P为射线BA上的一点(点P不与A、B两点重合,M为PA的中点,N为PB的中点,当点P在射线BA上运动时;MN的长度是否发生改变?若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长;若改变,请说明理由.
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【题目】已知数轴上A、B两点对应的数为0、10,P为数轴上一点
(1)点P为AB线段的中点,点P对应的数为 .
(2)数轴上有点P,使P到A,B的距离之和为20,点P对应的数为 .
(3)若点P点表示6,点M以每秒钟5个单位的速度从A点向右运动,点N以每秒钟1个单位的速度从B点向右运动,t秒后有PM=PN,求时间t的值(画图写过程).
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(1,0)、B(5,0)两点,点D是抛物线上横坐标为6的点.点P在这条抛物线上,且不与A、D两点重合,过点P作y轴的平行线与射线AD交于点Q,过点Q作QF垂直于y轴,点F在点Q的右侧,且QF=2,以QF、QP为邻边作矩形QPEF.设矩形QPEF的周长为d,点P的横坐标为m.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形QPEF的面积分为1:2两部分时m的值.
(3)求d与m之间的函数关系式及d随m的增大而减小时d的取值范围.
(4)当矩形QPEF的对角线互相垂直时,直接写出其对称中心的横坐标.
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【题目】如图1,平面直角坐标系中,直线AB与x轴负半轴交于点A(a,0),与 y轴正半轴交于点B(0,b),且+|b﹣4|=0.
(1)求△AOB的面积;
(2)如图2,若P为直线AB上一动点,连接OP,且2S△AOP≤S△BOP≤3S△AOP,求P点横坐标xP的取值范围;
(3)如图3,点C在第三象限的直线AB上,连接OC,OE⊥OC于O,连接CE交y 轴于点D,连接AD交OE的延长线于F,则∠OAD、∠ADC、∠CEF、∠AOC之间是否有某种确定的数量关系?试证明你的结论.
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