Question

14．已知方程x²+2x+1+m=0没有实数根．求证方程x²+（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．

Answer 1

分析 由方程x²+2x+1+m=0没有实数根可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，再根据根的判别式找出方程x²+（m-2）x-m-3=0的△=（m+4）²，结合m的取值范围即可得出（m+4）²＞0，进而即可得知方程x²+（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．

解答 证明：∵方程x²+2x+1+m=0没有实数根，
∴△=2²-4×1×（1+m）=-4m＜0，
解得：m＞0．
在方程x²+（m-2）x-m-3=0中，
△=（m+2）²-4×1×（-m-3）=m²+8m+16=（m+4）²，
∵m＞0，
∴△=（m+4）²＞0，
∴方程x²+（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．

点评 本题考查了根的判别式，根据根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．