Question

已知直角三角形的三边a、b、c都是正整数，c为斜边，k为正整数，且a+b+c=

k

2

ab．
问：当k为何值时这样的三角形存在，并求c的值．

Answer 1

考点：三角形边角关系,约数与倍数,完全平方式,平方差公式,勾股定理,勾股数

专题：探究型

分析：根据勾股定理可得a²+b²=c²，运用完全平方公式可推出（a+b）²-c²=2ab，然后运用平方差公式可得到k=

4

a+b-c

，然后由k、a、b、c都是正整数可得a+b-c是4的正约数（1或2或4），然后观察勾股数组（a逐渐增大）所对应的a+b-c的值，即可解决问题．

解答：解：∵a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，
∴a²+b²=c²，
∴（a+b）²-c²=a²+b²+2ab-c²=2ab．
∵a+b+c=

k

2

ab，
∴2ab=（a+b）²-c²=（a+b+c）（a+b-c）=

k

2

•ab•（a+b-c），
∴k=

4

a+b-c

．
∵k、a、b、c都是正整数，
∴a+b-c是4的正约数（1或2或4）．
观察以下勾股数组（a逐渐增大）对应的a+b-c的值：
当a=3，b=4，c=5时，a+b-c=2；
当a=5，b=12，c=13时，a+b-c=4；
当a=6，b=8，c=10时，a+b-c=4；
当a=7，b=24，c=25时，a+b-c=6；
当a=8，b=15，c=17时，a+b-c=6；
当a=9，b=12，c=15时，a+b-c=6；
…
可知：①当k=1时，a+b-c=4，此时三角形存在，c的值为10或13；
②当k=2时，a+b-c=2，此时三角形存在，c的值为5；
③当k=4时，a+b-c=1，此时三角形不存在．
综上所述：当k=1时，满足条件的三角形存在，对应c的值为10或13；当k=2时，满足条件的三角形存在，对应c的值为5．

点评：本题考查了勾股定理、完全平方公式、平方差公式、勾股数、约数等知识，有一定的难度，而推出k=

4

a+b-c

则是解决本题的关键．