Question

【题目】如图，在∠DAM内部做Rt△ABC，AB平分∠DAM，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，点N为BC的中点，动点E由A点出发，沿AB运动，速度为每秒5个单位，动点F由A点出发，沿AM运动，速度为每秒8个单位，当点E到达点B时，两点同时停止运动，过A、E、F作⊙O．

（1）判断△AEF的形状为　 　，并判断AD与⊙O的位置关系为　 　；

（2）求t为何值时，EN与⊙O相切，求出此时⊙O的半径，并比较半径与劣弧长度的大小；

（3）直接写出△AEF的内心运动的路径长为　 　；（注：当A、E、F重合时，内心就是A点）

（4）直接写出线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为　 　．

（参考数据：sin37°＝，tan37°＝，tan74°≈，sin74°≈，cos74°≈）

Answer 1

【答案】（1）等腰三角形，相切；（2）t=1，半径为，劣弧长度大于半径；（3）；（4）1≤t≤

【解析】

（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，由勾股定理求出BC＝＝6，设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，证明△EAH∽△BAC，得出，求出AH＝4t，则FH＝AF﹣AH＝4t，AH＝FH，得出△AEF是等腰三角形，证明E、H、O三点共线，得出∠OAF+∠AOE＝90°，由AB平分∠DAM，得出∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，由圆周角定理得出∠AOE＝2∠EFA，则∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，即可得出AD与⊙O相切；

（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，易证四边形EHCN为矩形，得出EH＝NC，由勾股定理得出EH＝＝3t，则NC＝3t，BC＝2NC＝6t，由BC＝6，得出t＝1，则AH＝4，EH＝3，设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，由勾股定理得出OA2＝OH2+AH2，解得x＝，得出OH＝，tan∠AOH＝，得出∠AOH＝74°，由∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，得出AE＞OA，则劣弧长度的大于半径；

（3）当点E运动到B点时，t＝2，AF＝16，AE＝EF＝AB＝10，此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，△AEF的内心运动的路径长为AG，作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，S△AEF＝AFBC＝48，设CG＝PG＝NQ＝a，则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AFCG+AEPG+EFNQ＝×(16+10+10)a＝48，解得a＝，由勾股定理得出AC2+CG2＝AG2，得出AG＝；

（4）分别讨论两种极限位置，①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，得出OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，设⊙O的半径为x，由勾股定理得出AH2+OH2＝OA2，解得x＝t，则OH＝CK＝t，由勾股定理得出，解得t＝，即可得出结果．

（1）过点E作EH⊥AF于H，连接OA、OE、OH，如图1所示：

∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，

∴BC＝＝6，

设运动时间为t，则AE＝5t，AF＝8t，

∵∠AHE＝∠ACB＝90°，∠EAH＝∠BAC，

∴△EAH∽△BAC，

∴，即，

∴AH＝4t，

∴FH＝AF﹣AH＝8t﹣4t＝4t，

∴AH＝FH，

∵EH⊥AF，

∴△AEF是等腰三角形，

∴E为的中点，∠EAF＝∠EFA，

∵AH＝FH，

∴OH⊥AC，

∴E、H、O三点共线，

∴∠OAF+∠AOE＝90°，

∵AB平分∠DAM，

∴∠DAE＝∠EAF＝∠EFA，

∵∠AOE＝2∠EFA，

∴∠AOE＝∠DAE+∠EAF＝∠DAF，

∴∠DAF+∠OAF＝90°＝∠DAO，即OA⊥AD，

∵OA为⊙O的半径，

∴AD与⊙O相切；

故答案为：等腰三角形，相切；

（2）连接OA、OF、OE，OE于AC交于H，如图2所示：

由（1）知：EH⊥AC，

∵EN与⊙O相切，

∴∠OEN＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴四边形EHCN为矩形，

∴EH＝NC，

在Rt△AHE中，EH＝＝3t，

∴NC＝3t，

∵点N为BC的中点，

∴BC＝2NC＝6t，

∵BC＝6，

∴6t＝6，

∴t＝1，

∴AH＝4，EH＝3，

设⊙O的半径为x，则OH＝x﹣3，

在Rt△AOH中，由勾股定理得：OA2＝OH2+AH2，即x2＝(x﹣3)2+42，

解得：x＝，

∴⊙O的半径为，

∴OH＝，

∴tan∠AOH＝＝，

∴∠AOH＝74°，

∵∠AOH＝60°时，△AOE是等边三角形，AE＝OA，74°＞60°，

∴AE＞OA，

∴劣弧长度的大于半径；

（3）当点E运动到B点时，t＝10÷5＝2，

∴AF＝2×8＝16，AE＝EF＝AB＝10，

此时△AEF的内心记为G，当A、E、F重合时，内心为A点，

∴△AEF的内心运动的路径长为AG，

作GP⊥AE于P，GQ⊥EF于Q，连接AG、GF，则CG＝PG＝NQ，如图3所示：

S△AEF＝AFBC＝×16×6＝48，

设CG＝PG＝NQ＝a，

则S△AEF＝S△AGF+S△AEB+S△FEG＝AFCG+AEPG+EFNQ＝×(16+10+10)a＝48，

解得：a＝，

在Rt△AGC中，AC2+CG2＝AG2，即82+()2＝AG，

∴AG＝，

故答案为：；

（4）分别讨论两种极限位置，

①当EN与⊙O相切时，由（2）知，t＝1；

②当N在⊙O上，即ON为⊙O的半径，

连接OA、ON、OE，OE交AC于H，过点O作OK⊥BC于K，如图4所示：

则四边形OKCH为矩形，OA＝OE＝ON，

∴OH＝CK，AH＝4t，EH＝3t，

设⊙O的半径为x，

则在Rt△AOH中，AH2+OH2＝OA2，即(4t)2+(x﹣3t)2＝x2，

解得：x＝t，

∴OH＝CK＝t﹣3t＝t，

在Rt△OKN中，OK2+KN2＝ON2，即(8﹣4t)2+(3+t)2＝(t)2，

解得：t＝，

∴线段EN与⊙O有两个公共点时，t的取值范围为：1≤t≤，

故答案为：1≤t≤．