【题目】如图1,我们知道,若点将线段分成两部分,且,则称点为线段的黄金分割点.类似的,我们把有一个内角等于的等腰三角形称为黄金三角形,如图,是的直径,点在上,,过点作直线分别交直线和于点、,连接,.
(1)求的度数,并证明是黄金三角形;
(2)求证:点是线段的黄金分割点;
(3)对于实数:,如果满足,则称为,的黄金数,为,的白银数.
①实数,且为,1的黄金数,为,1的白银数,求的值.
②实数,,,分别为,t的黄金数和白银数,求的值.
【答案】(1),是黄金三角形证明见解析;(2)证明见解析;(3)①;②或
【解析】
(1)由题意,根据同圆半径相等和三角形内角和,可求的度数,再由黄金三角形定义可证明是黄金三角形;
(2)由(1)条件证明,再由黄金分割定义问题可证明;
(3)①根据黄金数和白银数的定义,分别求出对应的a、b的值,则问题可解;
②根据k的正负取值,根据定义分别用k表示m、n,再求出比值即可.
(1)是⊙的直径,,
,则,
设,则,
又
.
则
又
是黄金三角形.
(2)由(1)得,
,
又
点是线段的黄金分割点.
(3)①为的黄金数,且实数
(舍),
为的白银数,且实数
(舍)
②分别为的黄金数和白银数,实数
分两种情况:i)当时,
由①得:
由②得:
ii)当时,,由①得:
由②得:
综上, 的值是或
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【题目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处,使三角板绕点D旋转.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想CE与AF的数量关系,并加以证明;
(2)在(1)的条件下,若DE:AE:CE= 1: :3,求∠AED的度数;
(3)若BC= 4,点M是边AB的中点,连结DM,DM与AC交于点O,当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2),若OF=,求CN的长.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O为原点,AB=8,BC=10,E为AB上一点,把△CBE沿CE折叠,使点B恰好落在边上的点D处,
(1)求AE的长;
(2)如图2,将∠CDE绕着点D逆时针旋转一定的角度,使角的一边DE刚好经过点B,另一边与y轴交于点F,求点F的坐标;
(3)在(2)的条件下,在平面内是否存在一点P,使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形.若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请通过计算说明理由.
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【题目】数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:
售价(元/件) | 100 | 110 | 120 | 130 | … |
月销量(件) | 200 | 180 | 160 | 140 | … |
已知该运动服的进价为每件60元.
(1)销售该运动服每件的利润是多少元;(用含的式子表示)
(2)求月销量与售价的关系式;
(3)设销售该运动服的月利润为元,那么售价为多少时,当月的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,在已知的中,按以下步骤:(1)分别以、为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交、;(2)作直线,交于,连结,若,,则下列结论中错误的是( )
A.直线是线段的垂直平分线B.点为的外心
C.D.点为的内心
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【题目】如图,在中,AB为的直径,C为上一点,P是的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.
(1)求证:DP是的切线;
(2)若AC=5,,求AP的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PA=AO,PD与⊙O相切于点D,BC⊥AB交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为1,则BC的长是( )
A.1.5B.2C.D.
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【题目】如图,在足够大的空地上有一段长为的旧墙,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园,其中,已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了的木栏.
(1)若,所围成的矩形菜园的面积为,求所利用的旧墙的长;
(2)求矩形菜园面积的最大值.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,,点E为BC的中点,以CD为直径在正方形外部作半圆CFD,点F为半圆的中点,连接,图中阴影部分的面积是( )
A.B.C.D.
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