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【题目】如图,在中,AB的直径,C上一点,P的中点,过点PAC的垂线,交AC的延长线于点D

1)求证:DP的切线;

2)若AC=5,AP的长.

【答案】1)见解析;(2AP=

【解析】

1)根据题意连接OP,直接利用切线的定理进行分析证明即可;

2)根据题意连接BC,交于OP于点G,利用三角函数和勾股定理以及矩形的性质进行综合分析计算即可.

解:(1)证明:连接OP

∵OP=OA;

∴∠1=∠2

∵PD的中点;

∴∠1=∠3

∴∠3=∠2

∴OP∥DA

∵∠D=90°

∴∠OPD=90°

∵OPO半径;

∴DPO的切线;

2)连接BC,交于OP于点G

∵AB是圆O的直径;

∴∠ACB为直角;

∴sin∠ABC=

AC=5,AB=13,半径为

由勾股定理的BC=,那么CG=6

四边形DCGP为矩形;

∴GP=DC=6.5-2.5=4

∴AD=5+4=9;

Rt△ADP中,AP=.

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