Question

【题目】如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．

探究发现

（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．

拓展运用

（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．

（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．

Answer 1

【答案】（1）全等，理由见解析；（2）BD＝；（3）△ACD的面积为，AD＝．

【解析】

（1）依据等式的性质可证明∠BCD＝∠ACE，然后依据SAS可证明△ACE≌△BCD；

（2）由（1）知：BD＝AE，利用勾股定理计算AE的长，可得BD的长；

（3）过点A作AF⊥CD于F，先根据平角的定义得∠ACD＝60°，利用特殊角的三角函数可得AF的长，由三角形面积公式可得△ACD的面积，最后根据勾股定理可得AD的长．

解：（1）全等，理由是：

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，

∴BD＝AE，

∵△DCE都是等边三角形，

∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，

∵∠ADC＝30°，

∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，

在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，

∴，

∴BD＝；

（3）如图2，过点A作AF⊥CD于F，

∵B、C、E三点在一条直线上，

∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，

∵△ABC和△DCE都是等边三角形，

∴∠BCA＝∠DCE＝60°，

∴∠ACD＝60°，

在Rt△ACF中，sin∠ACF＝，

∴AF＝AC×sin∠ACF＝，

∴S△ACD＝，

∴CF＝AC×cos∠ACF＝1×，FD＝CD﹣CF＝，

在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD2＝，

∴AD＝．