Question

【题目】如图，点O为直线AB外一定点，点P线段AB上一动点，在直线OP右侧作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长是________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先根据题意可知所有的Rt△OPQ都是相似的，从而得出点Q实质就是在一条竖直的直线上运动，据此我们假设点O在点A的正上方，且设点O（0，3），点A（0，0），点B（3，0），点P（xp，0），其中0≤xp≤3，通过待定系数法求出直线OP的解析式为：，由此得出直线OQ的解析式为：，据此利用特殊角的三角函数值得出，最后在此基础上作进一步分析即可.

由题意得：所有的Rt△OPQ都是相似的，

∴点Q实质就是在一条竖直的直线上运动，

∴假设点O在点A的正上方，再设点O（0，3），点A（0，0），点B（3，0），点P（xp，0），其中0≤xp≤3，

∴设直线OP的解析式为：，

则，

∴，

∴直线OP的解析式为：，

∵OP⊥OQ，

∴直线OQ的解析式为：，

∴点Q（xQ，），

∴(tan30°)2=，

∴

∴xQ=，yQ=，

又∵0≤xp≤3，

∴3≤yQ≤3+，

∴点Q运动的长度为，

故答案为：．